Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Al igualar S/x = S/y = 0 resulta 2x + y = 120 y x + 2y = 120.
La solución simultánea da x = 40, y = 40 y 120 –(x + 4) = 40 como las tres partes, y S = 3(40 2 ) = 4800.
Entonces, si el máximo absoluto ocurre en el interior del triángulo, el teorema 52.1 indica que se ha hallado.
Aún es necesario revisar el límite del triángulo. Cuando y = 0, S = x(120 – x). Entonces, dS/dx = 120 – 2x y el
número crítico es x = 60. El valor máximo correspondiente de S es 60(60) = 3600, que es < 4800. Un resultado
semejante se cumple cuando x = 0. Finalmente, en la hipotenusa, donde y = 120 – x, S = x(120 – x) y se
obtiene de nuevo un máximo de 3600. Por consiguiente, el máximo absoluto es 4800 y x = y = z = 40.
13. Determine el punto del plano 2x – y + 2z = 16 más próximo al origen.
Sea (x, y, z) el punto requerido; entonces, el cuadrado de su distancia al origen es D = x 2 + y 2 + z 2 . Como
también 2x – y + 2z = 16, se tiene que y = 2x + 2z – 16 y D = x 2 + (2x + 2z – 16) 2 + z 2 .
Luego, las condiciones D/y = 2x + 4(2x + 2z – 16) = 0 y D/z = 4(2x + 2z – 16) + 2z = 0 equivalen
a 5x + 4z = 32 y 4x + 5z = 32, y x = z = 32 . Como se sabe que existe un punto para el cual D es un mínimo,
9
( , − , ) es ese punto.
32
9
16
9
32
9
14. Demuestre que un paralelepípedo rectangular de volumen máximo V con área de superficie constante S es un
cubo.
Sean x, y y z las dimensiones. Entonces, V = xyz y S = 2(xy + yz + zx).
Pueden despejarse z en la segunda relación y sustituirse en la primera, para expresar V como función de x y
y. Es preferible evitar este paso simplemente tratando z como una función de x y y. Entonces,
V
yz xy
z
x x , V
xz xy z y
y
CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
S
y z x z y z x
y
0 2
x
,
S
0 2
x z x z y z y
y y
De las dos últimas ecuaciones, z
y z
x x
y y z
x z
. Al sustituir en las primeras se llega a las
y x
y
condiciones
V
( )
yz
xy y z
0 y V
x x
y xy( x z)
xz 0 , las cuales se reducen a y
y x
y
2 (z – x) = 0 y x 2 (z – y)
= 0. Así, x = y = z, como se solicitó.
15. Determine el volumen V del paralelepípedo rectangular más grande que puede inscribirse en el elipsoide
2 2
x y 2
z
2
+
2
+
2
= 1.
a b c
Sea P(x, y, z) un vértice en el primer octante. Entonces, V = 8xyz. Considere z como una función de las
variables independientes x y y dada por la ecuación del elipsoide. Las condiciones necesarias para un máximo
son:
V
8
yz
xy z x
x
0 y
V
8 0
xz xy z
(1)
y
y
De la ecuación del elipsoide se obtiene 2 x 2 2
+
z ∂z
2
0
a c ∂ x
= y 2 y 2
2
+
z ∂z
2
= 0. Se elimina z/x y z/y entre
b c ∂ y
estas relaciones y (1) para obtener
y finalmente,
2 2
V cxy
8 yz
0
2
x az
y 8 0
2 2
V cxy
xz
2
y bz
x
a
2
2
2 2
z y
=
2
= (2)
2
c b
Se combina (2) con la ecuación del elipsoide para obtener x = a 33 / , y = b 33 / y z = c 33 / . Entonces,
V = 8xyz = (8 39 / )abc unidades cúbicas.