Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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23. Demuestre que la función f (x) = x 3 + 3x 2 – 8x + 2 tiene derivadas de todo orden y hállelas.
f (x) = 3x 2 + 6x – 8, f (x) = 6x + 6, f (x) = 6 y todas las derivadas de orden superior son cero.
24. Investigue las derivadas sucesivas de f (x) = x 4/3 en x = 0.
f (n) (0) no existe para n 2.
f( x)
4 13 /
f ( x) 3 x y f = (0) = 0
4
9
x
23
/
4
9x
23 /
y f (0) no existe
25. Sea f ( x) = 2 = 21 ( − x)
1 − x
− 1
. Halle la fórmula para f (n) (x).
f (x) = 2(–1)(1 – x) –2 (–1) = 2(1 – x) –2 = 2(1!)(1 – x) –2
f (x) = 2(1!)(–2)(1 – x) –3 (–1) = 2(2!)(1 – x) –3
CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
f (x) = 2(2!)(–3)(1 – x) –4 (–1) = 2(3!)(1 – x) –4
lo que sugiere que f (n) (x) = 2(n!)(1 – x) –(n+1) . Este resultado puede establecerse mediante inducción matemática
demostrando que si f (k) (x) = 2(k!)(1 – x) –(k+1) , entonces
f (k+1) (x) = –2(k!)(k + 1)(1 – x) –(k+2) (–1) = 2[(k + 1)!](1 – x) –(k+2)
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
26. Demuestre el teorema 10.1 (5): D x (u – v) = D x u – D x v.
Respuesta:
D x (u – v) = D x (u + (–v)) = D x u + D x (–v) = D x u + D x ((–1)v) = D x u + (–1)D x v = D x u – D x v por el
teorema 8.1 (4, 3)
En los problemas 27 a 45, halle la derivada.
27. y = x 5 + 5x 4 – 10x 2 + 6 Respuesta: dy
dx
28. y = 3x 1/2 – x 3/2 + 2x –1/2 Respuesta: dy
dx
3 2
= 5xx
( + 4x
−4)
=
3 3
− 2 x −1
x
2 x
29. y =
1
+
4
=
1 −2 −1/ 2
2
x + 4x
Respuesta: dy =−
1
−
2
2x
x 2
/
dx x x
3 3 2
32 /
/
30. y= 2x + 2 x
Respuesta: y ( 1
2)
/ 2x
31. ft ()=
2
+
6
3
t t
Respuesta: f ()
t
t
2t
2
t
12 / 23 /
32. y = (1 – 5x) 6 Respuesta: y = –30(1 – 5x) 5
33. f (x) = (3x – x 3 + 1) 4 Respuesta: f (x) = 12(1 – x 2 )(3x – x 3 + 1) 3