Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 26 Funciones exponenciales y logarítmicas
Ahora se puede demostrar que la notación e x no está errada, es decir, que e x en realidad es una potencia de
e. Primero, esto puede probarse para los x enteros positivos mediante inducción matemática. [De hecho, por
(23.6), e = e ln e = e 1 . Así, por (26.9), e n+1 = e n e 1 = e n e para todo n entero positivo y, por tanto, si se supone mediante
hipótesis inductiva que e n representa el producto de e por sí mismo n veces, entonces e n+1 es el producto
de e por sí mismo n + 1 veces.] Por (26.8), e 0 = 1, lo que corresponde a la definición estándar de e 0 . Si n es un
entero positivo, e –n ordinariamente se definiría mediante 1/e n , lo cual es idéntico al valor de la función dada por
(26.11). Si k y n son enteros positivos, entonces la potencia e k/n se define ordinariamente como n e k . Ahora, de
hecho, por (26.9), el producto e k/n e k/n ... e k/n , donde hay n factores, es igual a e k/n+k/n+…+k/n = e k . Así, el valor de
la función e k/n es idéntico a la raíz n–ésima de e k . En fracciones negativas, de nuevo se aplica (26.11) para ver
que el valor de la función e x es idéntico al valor especificado por la definición común. Por ende, el valor de la
función e x es la potencia usual de e cuando x es cualquier número racional. Como nuestra función e x es continua,
el valor de e x cuando x es irracional es el límite deseado de e r para los números racionales r que tienden a x.
La gráfica de y = e x aparece en la figura 26.2. Por (26.13), la gráfica crece sin límite a la derecha y, por
2 x
x x
(26.14), el eje x negativo es una asíntota horizontal a la izquierda. Como Dx
( e ) = Dx( e ) = e > 0,
la gráfica es
cóncava hacia arriba en todas partes. La gráfica de y = e –x también se muestra en la figura 26.2. Se obtiene de
la gráfica de y = e x por reflexión en el eje y.
(26.16) e x = lím 1+
n→+∞
( )
x n
n
Para ver una demostración, repase el problema 5.
n
(26.17) e = lím ( 1+
1
n )
n→+∞
Éste es un caso especial de (26.16) cuando x = 1. Se puede utilizar esta fórmula para aproximar e,
aunque la convergencia a e resulta más bien lenta. Por ejemplo, cuando n = 1 000, se obtiene 2.7169,
y cuando n = 10 000, se tiene 2.7181, que es correcto sólo con tres cifras decimales.
y
y e –x
y e x
(0, 1)
x
Fig. 26.2
Función exponencial general
Sea a > 0. Entonces es posible definir a x como sigue:
Definición
a x = e x ln a
Nótese que esto concuerda con la definición de e x , ya que cuando a = e, ln a = 1.
(26.18) D x (a x ) = (ln a) a x .
De hecho,
D x (e x ln a) = D u (e u )D x u (Regla de la cadena con u = x ln a)
= e u (ln a) = e x ln a(ln a) = a x (ln a)
EJEMPLO 26.3. D x (2 x ) = (1n 2) 2 x .