Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 59 Ecuaciones diferenciales
14. Resuelva x dy + (3y – e x )dx = 0.
Multiplique la ecuación por (x) = x 2 para obtener x 3 dy + 3x 2 y dx = x 2 e x dx. Esto produce
∫
x 3 y= x 2 e x dx= x 2 e x − 2 xe x + 2 e x + C
15. dy
dx + 2
x y=
6 x3
Aquí, P( x)= 2 , Px ( ) = lnx
x ∫
2
, y un factor de integración es
ln x2 ( x) e x 2
. Multiplique por la ecuación
x(x) = x 2 para obtener x 2 dy + 2xy dx = 6x 5 dx. Así, la integración resulta en x 2 y = x 6 + C.
Nota 1: después de multiplicar por el factor de integración, los términos del miembro izquierdo de la
ecuación resultante son una combinación integrable.
Nota 2: el factor de integración de una ecuación no es único. En este problema x 2 , 3x 2 , 1 2
2 x , etc., son todos
los factores de integración. Por tanto, se escribe la integral particular más simple de P(x) dx en lugar de la
integral general, ln x 2 + ln C = ln Cx 2 .
16. Resuelva tan x dy + y= sec x.
dx
Como dy + ycot x=
csc x se tiene que Pxdx= xdx=
x
dx
∫ ( ) ∫ cot ln|sen | y x(x) = e ln|sen x| = |sen x|. Entonces,
al multiplicar por x(x) resulta
y la integración da
sen x
⎛ dy + ycot x
⎞
= sen xcsc
x o sen x dy + y cos x dx = dx
⎝ dx ⎠
y sen x = x + C
17. Resuelva dy − xy = x .
dx
1 2
Aquí, P(x) = –x, Pxdx ( ) 2 x y ( x)
e 1 2 x2
. Esto resulta en
e − 1
2 x2 dy − xye − 1 2 x2 dx = xe − 1 2 x2
dx
y la integración produce
1
− x − x
ye
2 2 =− e 1 2 2 1
+ C, o y = Ce x −
2 2 1
18. Resuelva dy
2
+ y= xy .
dx
La ecuación es de la forma dy + Py = Qy
dx
n , con n = 2. Aquí se utiliza la sustitución y 1–n = y –1 = z,
− 2
dy
y
dz
−2 dy
−1 =− . Por conveniencia, se escribe la ecuación original en la forma y + y = x, y se obtiene
dx dx
dx
−
dz
+ z=
x o dz − z=−x
dx dx
Pdx dx x
El factor de integración es ( x)
e
e e
. Ello resulta en e –x dx – ze –x dx = xe –x dx, de donde ze –x =
xe –x + e –x + C. Finalmente, como z = y –1 , se tiene que
1
= x+ 1+ Ce
y
x .
19. Resuelva dy + ytan
x=
y sec x
dx
3
−3 dy
−
Escriba la ecuación en la forma y + y 2
tan x=
sec x . Luego, use la sustitución y
dx
–2 = z,
− 3
dy
y =−
1 dz
dx 2 dx
para obtener dz − 2ztan x=−2sec x.
dx