Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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a) El centroide está en el eje z, y se tiene que
M = zdV=
zrdzdrdθ
xy
∫∫∫
R
4∫
π / 2
0
∫
0
a
∫
h
hr/
a
( ) = =
π / 2 a
2
2
= 2 h r −
h
a r dr d h a π / 2
3 1 2 2
d 1
∫ h a
0 ∫0
2
θ
2 ∫ θ π
0 4
3
Entonces, z = M / V = 4 h y el centroide tiene coordenadas (0, 0,
4 3 h).
xy
b) Iz
= ∫∫∫ ( x + y ) π / 2 a h
2 2
dV= ( 2
r )
4 2
4
rdzdrdθ =
1
πha =
3
∫ a V
0 ∫0
∫hr/
a
10 10
R
c) Tome la recta como el eje y. Luego,
2 2
CAPÍTULO 57 Integrales triples
2 2 2 2 2
I = ( x + z ) dV = 4 ( r cos θ + z ) r dz dr dθ
y
∫∫∫
R
∫
π / 2
π / 2
0
0
∫
h
hr/
a
a
3
⎡ 3 4 2 1 3
4
hr
h
3
a r 3
h r h
⎢( ) cos θ + ( −
0
)
= 4 −
0
⎣
=
1
πha h +
1
a
3
h
1
a
5 4 5 4
d) Sea la recta c que pasa por el centroide paralela al eje y.
∫
∫
( ) = ( ) + V
2 2 2 2 2
∫
a
a r
⎤
dr dθ
⎦⎥
3 2
Iy
= Ic
+ V( 4 h)
e I = 3
h + 1 2
c
a V − 9 2
h V = 3
h + 2
5 ( 2 4 ) 2
16 80 ( 4a ) V
e) Sea d el diámetro de la base del cono paralelo al eje y. Entonces,
1 2 3 2
I = I + V( 4 h) = ( h + 4a ) V + h V = ( 2h
+ 3a 2
) V
d
c
2 1 2 1 2
80 16 20
10. Halle el volumen cortado en el cono 1 4 por la esfera r = 2a cos f (fig. 57.10).
4
4
2
V dV
sen d d d
R
32a
3
3
/ 2 / 4
0
0
2a
cos
0
/ 2 / 4
/ 2
0
3
3 3
cos
sen
d d 2a d a
unidades cúbicas
0
0
f
r
q
Fig. 57.10