Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
Se derivan las ecuaciones dadas respecto a v y se obtiene
Entonces,
2v
2 x
3 y
v v 0
x
2v
3u
y
v 5
y u
x y
+ ∂ ∂v − ∂ ∂v = 0
y
2uu
( v)
v 5
23. Demuestre que la diferenciabilidad de z = f (x, y) en (a, b) implica que f es continua en (a, b).
De (49.4), z = (f x (a, b) + 1 ) x + (f y (a, b) + 2 ) y, donde lím 1
lím 2 0. Por tanto,
( x, y) ( 00 , ) ( x, y) ( 00 , )
z 0 cuando ( x, y) (0, 0), lo que implica que f es continua en (a, b).
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
24. Halle la diferencia total de las funciones siguientes:
a) z = xy 3 + 2xy 3 Respuesta: dz = (3x 2 + 2y 2 ) dx + (x 2 + 6y 2 ) dy
b) tan 1 y
xdy
ydx
Respuesta: d
2 2
x
x y
c) z = e x2 − y2
Respuesta: dz = 2z(x dx – y dy)
d) z = x(x 2 + y 2 ) –1/2 yydx ( − xdy)
Respuesta: dz =
( x
+ y
) 25. Use diferenciales para aproximar a) el volumen de una caja con base cuadrada de lado 8.005 y altura 9.996
pies; b) la diagonal de una caja rectangular de dimensiones 3.03 por 5.98 por 6.01 pies.
Respuestas: a) 640.544 pies 3 ; b) 9.003 pies
26. Aproxime el máximo error posible y el porcentaje de error cuando z se calcula mediante la fórmula dada:
a) z = r 2 h; r = 5 0.05, h = 12 0.1 Respuesta: 8.5; 2.8%
b) 1/z = 1/f + 1/g; f = 4 0.01, g = 8 0.02 Respuesta: 0.0067; 0.25%
c) z = y/x; x = 1.8 0.1, y = 2.4 0.1 Respuesta: 0.13; 10%
27. Halle el porcentaje máximo aproximado de error en:
a) 3 gb / si hay un error posible de 1% en la medida de g y 1 2 % de error en la medida de b.
1
(Sugerencia: ln 3 (ln gln b ); d dg db
1
g
; dg 3 b g = 001 . ; db b = 0. 005 .)
Respuesta: 0.005
b) g = 2s/t 2 si hay un posible error de 1% en la medida de s y 1 4 % de error en la medida de t.
Respuesta: 0.015
28. Encuentre du/dt dado:
a) u = x 2 y 3 ; x = 2t 3 , y = 3t 2
Respuesta: 6xy 2 t(2yt + 3x)
b) u = x cos y + y sen x; x = sen 2t, y = cos 2t
Respuesta: 2(cos y + y cos x) cos 2t – 2(–x sen y + sen x) sen 2t
c) u = xy + yz + zx; x = e’, y = e –t , z = e t + e –t
Respuesta: (x + 2y + z)e t –(2x + y + z)e –t