Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

458
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
z
n
P
b
t
O
y
x
Fig. 53.1
En cada ecuación, R es el vector de posición de un punto general en el plano en particular.
Superficies
Sea F(x, y, z) = 0 la ecuación de una superficie (véase el capítulo 51). Una representación paramétrica resulta
cuando x, y y z se escriben como funciones de dos variables independientes o parámetros u y v; por ejemplo,
x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), z = f 3 (u, v) (53.10)
Cuando u se sustituye por un valor constante u 0 , (53.10) se convierte en
x = f 1 (u 0 , v), y = f 2 (u 0 , v), z = f 3 (u 0 , v) (53.11)
la ecuación de una curva en el espacio (curva u) que está sobre la superficie. De igual modo, cuando v se remplaza
por una constante v 0 , (53.10) se convierte en
x = f 1 (u, v 0 ), y = f 2 (u, v 0 ), z = f 3 (u, v 0 ) (53.12)
la ecuación de otra curva en el espacio (curva u) sobre la superficie. Las dos curvas se intersecan en un punto
de la superficie obtenido al sustituir u = u 0 y v = v 0 , simultáneamente, en (53.10).
El vector de posición de un punto general P de la superficie está dado por
r = xi + yj + zk = if 1 (u, v) + jf 2 (u, v) + kf 3 (u, v) (52.13)
Supóngase que (53.11) y (53.12) son las curvas u y v que pasan por P. Entonces, en P,
r
i f1( u0, v) j f2( u0, v) k f3( u0, v)
v v
v
v
es un vector tangente a la curva u, y
r
i j k
u u f u u f u u f u
1( , v0) 2( , v0) 3( , v 0
)