Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

473
b
x i
z
U
O c
a
K
g 1 (x)
R
M S L
V
T
N
g 2 (x)
d
z f(x, y)
y
CAPÍTULO 54 Integrales dobles e iteradas
x
Fig. 54.4
Sea la sección de este volumen cortada por un plano x = x i , donde a < x i < b, interseca la frontera de R en
los puntos S(x i , g 1 (x i )) y T(x i , g 2 (x i )), y la superficie z = f (x, y) en el arco UV a lo largo del cual z = f (x i , y). El
área de esta sección STUV está dada por
g2 xi
A( x ) = ∫ ( )
f( x , y)
dy
1
i
g ( xi)
Así pues, las áreas de las secciones transversales del volumen cortadas por los planos paralelas al plano yz son
g2 xi
funciones conocidas A( x) = ∫ ( )
f( x, y)
dy de x, donde x es la distancia del plano que se secciona al origen.
1
g ( xi)
De acuerdo con la fórmula de la sección transversal del capítulo 30, el volumen requerido está dado por
V
b
A x dx b g xi
2( )
( ) f x y dy
dx
a ( , )
a g ( x
1 i)
Ésta es la integral iterada de (54.4)
En los problemas 2 a 6, calcule la integral de la izquierda.
1 x
1
1 2 3
x
2
2. dydx y dx x x dx
x x
x2
x2
0
[] ( )
0 2 3 1
0 6
2 3y
2
∫1
∫y
∫1
y ∫1
3. ( x + y) dx dy = [ x + xy]
y dy =
2
1 2 3
2 6
2
y dy =
3 2
[ 2y
] = 14
2
x2
x
x2
x
3 2 3
4. xdydx xy dx x
2 [ ]
2x2
(
2
x 2x 2 x)
dx
1
2x
2
2
1
2
1
cos
1 2 cos
5. sen dd
[ sen ] d
1 2
1
2 c
0 0
0
0
os sen [ cos ]
2 0
6
3
d
0
1
i
9
4
1
3
6.
/ 2 4 cos
2 4 cos
1
0
2
/
/ 2
3
4
dd
4
d
0 4
( 64cos 4)
d
2
0
64 3 / 2
sen
sen4
4
8 4 32 0
10
0
7. Calcule dA, donde R es la región en el primer cuadrante limitada por la parábola semicúbica y 2 = x 3 y la
R
recta y = x.