Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

113
D
A
B
y
Fig. 14.13
El número crítico relevante es y = 24, de manera que la altura del cono es y + 8 = 32 pulgadas y el radio de la
base es 8 2 pulgadas. (¿Cómo se sabe que el volumen se ha minimizado?)
y 2 –64
E
C
CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
20. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima A que puede inscribirse en la parte de la parábola y 2 =
4px que interseca la recta x = a.
Sea PBBP de la figura 14.14 el rectángulo, y (x, y) las coordenadas de P. Entonces,
y
O
P
x
y
a – x
B
x
P
B
Fig. 14.14
2 3
y y
A2y( a x) 2y a
ay
p
2
y
4 2p
dA 3y
= 2a
−
dy 2p
Al resolver dA/dy = 0 se obtiene el número crítico y = 4ap/ 3. Las dimensiones del rectángulo son
4
2y= 3 3ap
y a – x = a – (y 2 /4p) = 2a/3.
Como d 2 A/dy 2 = –3y/p < 0, el criterio de la segunda derivada y la unicidad del número crítico garantizan
que se ha hallado el área máxima.
2
.
21. Halle la altura del cilindro circular recto de volumen máximo V que puede inscribirse en una esfera de radio R
(fig. 14.15).
h
h
R
Fig. 14.15