Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Las curvas se intersecan en (1, 1). Por la diferencia de la fórmula de capas cilíndricas, el volumen es
1
2 2 3
1 2
V 2 x(( 2x ) x ) dx 4 ( x x ) dx 4
x
0
1
0
1
1 4
1 1
2 4
x 4
2 4
0
7. Considere la región acotada por la parábola y = 4x 2 y las rectas x = 0 y y = 16 (fig. 30.5). Encuentre el
volumen del sólido obtenido al girar en torno a la recta y = –2.
La solución de este problema se reduce al caso de una revolución en torno al eje x. Se sube la región
verticalmente a una distancia de 2 unidades. Esto cambia en una región * acotada por debajo por
la parábola y = 4x 2 + 2, a la izquierda por el eje y, y por encima por la recta y = 18 (fig. 30.13). Entonces,
el sólido de revolución original tiene el mismo volumen que el sólido de revolución obtenido al girar *
alrededor del eje x. El último volumen se obtiene mediante la fórmula de washer:
2 2 2
4 2
V
( 18 ( 4x 2) ) dx
( 256 16x 16x
4)
dx
0
2
252x 16 5 16 2
3
512
x x
504
5
3
0
0
2
5384
5
128
3
15
CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
8. Como en el problema 7, considérese la región acotada por la parábola y = 4x 2 y las rectas x = 0 y y = 16 (fig.
30.5). Halle el volumen del sólido obtenido al girar en torno de la recta x = –1.
18
y
6
2
x
Fig. 30.13
Para resolver este problema, se reduce al caso de una revolución sobre el eje y. Se mueve la región a la
derecha una distancia equivalente a 1 unidad. Esto convierte a en una región acotada a la derecha por
la parábola y = 4(x – 1) 2 , por encima por y = 16 y a la izquierda por x = 1 (fig. 30.14). El volumen deseado
es el mismo que el obtenido cuando se gira * alrededor del eje y. El último volumen se obtuvo mediante la
diferencia de la fórmula de capas cilíndricas:
V 2 x 16 4 x 1 2
dx 2 x 16 4 2
( ( ) ) ( x 8 x
4 ) dx
1
3
3 2 2 4 8 3 2
2
( 16x4x 8x 4x) dx2
8x x
3
x 2x
1
3
8
2 ( 72817218) 81 3
2
3
1
3
112
3
1