Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 15 Trazo de curvas. Concavidad. Simetría
l
Q
l
P
P
Q
P
B
Q
Q
P
(a) (b) (c)
Fig. 15.2
(–x, y)
(x, y)
(x, y)
(x, y)
(x, –y)
(–x, –y)
(a) (b) (c)
Fig. 15.3
Los puntos (x, y) y (–x, y) son simétricos respecto al eje y, y los puntos (x, y) y (x, –y) son simétricos respecto
al eje x. Los puntos (x, y) y (–x, –y) son simétricos respecto al origen [fig. 15.3a-c)].
Considérese la gráfica de una ecuación F (x, y) = 0. Entonces:
i) La gráfica es simétrica respecto al eje y si y sólo si F (x, y) = 0 implica que F (–x, y) = 0.
ii) La gráfica es simétrica respecto al eje x si y sólo si F (x, y) = 0 implica que F (x, – y) = 0.
iii) La gráfica es simétrica respecto al origen si y sólo si F (x, y) = 0 implica que F (–x, –y) = 0.
EJEMPLO 15.4.
a) La parábola y = x 2 es simétrica al eje y.
b) La parábola x = y 2 es simétrica respecto al eje x.
c) Un círculo x 2 + y 2 = r 2 , una elipse x 2 2
y
2
+
2
= 1 y una hipérbola x a b
a
eje x y al origen.
2
2
y
−
b
2
= son simétricas respecto al eje y, al
2
1
EJEMPLO 15.5. Un punto P(a, b) es simétrico al punto Q(b, a) respecto a la recta y = x. Para comprobarlo,
primero se observa que la recta PQ tiene pendiente –1. Como la recta y = x tiene pendiente 1, la recta PQ es perpendicular
a la recta y = x. Además, el punto medio del segmento que une a P y a Q es ( a+ b ,
2 b+
2
a ), que está en la recta
y = x. Por tanto, la recta y = x es la mediatriz de dicho segmento.