Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Curvas en el espacio
Considere la curva en el espacio
x = f(t), y = g(t), z = h(t) (53.5)
donde f(t), g(t) y h(t) tienen primeras y segundas derivadas continuas. Sea el siguiente el vector de posición de
un punto general variable P(x, y, z) de la curva:
r = xi + yj + zk
dr
Como en el capítulo 39, t = es el vector unitario tangente a la curva. Si R es el vector de posición de un punto
ds
(X, Y, Z) en la tangente en P, la ecuación vectorial de esta recta es (véase el capítulo 50)
R – r = kt para una variable escalar k (53.6)
y las ecuaciones en las coordenadas rectangulares son
X− x Y − y Z−
z
= = ,
dx/ ds dy/ ds dz/
ds
CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
dx dy dz
donde , ,
ds ds ds
es un conjunto de cosenos directores de la recta. En la correspondiente ecuación (51.2) se
dx dy dz
utilizó un conjunto de números directores
dt
, dt
,
dt .
La ecuación vectorial del plano normal a la curva en P está dada por
(R – r) t = 0 (53.7)
donde R es el vector posición de un punto general del plano.
De nuevo, como en el capítulo 39, dt es un vector perpendicular a t. Si n es un vector unitario con dirección
ds
dt
ds , entonces
dt =| K |n,
ds
donde |K| es la magnitud de la curvatura en P. El vector unitario
n = 1 dt
| K|
ds
(53.8)
se denomina normal principal a la curva en P.
El vector unitario b en P, definido por
b = t n (53.9)
recibe el nombre de binormal en P. Los tres vectores t, n y b forman en P una tríada a la derecha (dextrógira)
de vectores ortogonales entre sí (véanse los problemas 1 y 2).
En un punto general P de una curva en el espacio (fig. 53.1), los vectores t, n y b determinan tres planos
perpendiculares entre sí:
1. El plano osculador, que contiene a t y n, de ecuación (R – r) b = 0
2. El plano normal, que contiene a n y b, de ecuación (R – r) t = 0
3. El plano rectificador, que contiene a t y b, de ecuación (R – r) n = 0