Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 8 Continuidad
y
4
O
2
x
Fig. 8.2
La discontinuidad en 2 en el ejemplo 8.1a) no es removible. Al redefinir el valor de f en 2 no cambia el hecho
de que lím x2 x 1 no existe.
2
También se dice que la discontinuidad de una función f en x 0 es removible cuando f (x 0 ) está definida y al
cambiar el valor de la función en x 0 produce una función que es continua en x 0 .
EJEMPLO 8.2.
Defina una función f de la manera siguiente:
f( x)=
x
2 si x ≠ 2
0 six
= 2
En este caso lím x2 f (x) = 4, pero f (2) = 0. Por tanto, la tercera condición no se cumple, de modo que f tiene una
discontinuidad en 2. Pero si se cambia el valor de f en 2 por 4, entonces se obtiene una función h tal que h(x) = x 2 para
todo x, y h es continua en 2. Por consiguiente, la discontinuidad de f en 2 es removible.
EJEMPLO 8.3. Sea f la función tal que f (x) = x x para todo x ≠ 0. La gráfica de f se muestra en la figura 8.3. f es
discontinua en 0 porque f (0) no está definida. Además,
lím f( x) = lím
x
= 1 y lím f( x) = lím
− x
1
x→0+ x→0+ x
x→0− x→0−
=−
x
Luego lím x0 – f (x) ≠ lím x0 + f (x). Por tanto, la discontinuidad de f en 0 no es removible.
La clase de discontinuidad que aparece en el ejemplo 8.3 se denomina discontinuidad de salto. En general, una
función f tiene una discontinuidad de salto en x 0 si tanto lím x0 – f (x) como lím x0 + f (x) existen y lím x0 – f (x) ≠
lím x0 + f (x). Tal discontinuidad no es removible.
1
–1
Fig. 8.3.
EJEMPLO 8.4. La función del problema 4 del capítulo 6 tiene una discontinuidad de salto en cada entero positivo.
Las propiedades de los límites conducen a las propiedades correspondientes de continuidad.