Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

351
EJEMPLO 42.10.
Use el mismo ejemplo s = 3n
n
4n
+ 1 anterior,
sn+ 1
=
3n
+ 3 3n
n n
s ( n + ) ( n + ) = 3 + 3 4 + 1
4 5 4 1 3n
4n
+ 5
=
2
12n + 15n+
3
2
> 1,
12n
+ 15n
ya que 12n 2 + 15n + 3 > 12n 2 + 15n > 0.
n
Método 3: Halle una función diferenciable f (x) tal que f (n) = s n , para todo n, y demuestre que f '(x) > 0 para
todo x 1 (y, por tanto, que f es una función creciente para x 1).
EJEMPLO 42.11.
Considere de nuevo s = 3n
n
4n
+ 1 . Sea: f ( x )=
3x
4x
+ 1 . Entonces f ( x)
3
2
0 para todo x.
( 4x
1)
CAPÍTULO 42 Sucesiones infinitas
PROBLEMAS RESUELTOS
1. En cada una de las sucesiones siguientes, escriba la fórmula para el término n–ésimo y determine el límite (si
existe). Supóngase que n = 1, 2, 3,…
a)
1 1
2
, 1 1
4
, 6
, 8
,... b) 1 2
2
, 3 4
3
, 4
, 5
, ...
c) 1, −
1
,
1
, −
1
,
1
, −
1
, ... d) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…
2 3 4 5 6
e) sen 2 , sen p, sen 3 2 3 4
, sen 2p, sen
5 2
2 ,… f)
2
,
3 4 5
1 ( 2 ) , ( , ,
3 ) ( 4 ) ...
a) s n
= 1 2 ; lím 1
0.
n n
2n
b) s = n
n
;
n
lím
n
lím lím
+ 1 n n 1
1
n n
1 1
1
1 n
n 1 1 0 1
n
(
c) sn
= − 1)
+ 1 ; lím ( ) n1
1
0. Esto es intuitivamente claro, pero también puede aplicarse el teorema 42.3 a
n n
n
la sucesión (–1) n+1 n
n, como lím ( 1)
1 n .
n
d) s n
= 1−
1
10 n ; lím
n 1 1
1 lím
1
n
1 0 1.
n
10
n
10
Nótese que lím
1
n
0 en virtud del teorema 42.4b).
n 10
e) s = sen n π . Obsérvese que la sucesión consta de repeticiones del ciclo 1, 0, –1, 0 y no tiene límite.
n
2
n
n
n
f) s
n
n
=
+ 1
( n ) ; lím
n 1
lím e
n
n 1 1
n
n por (26.17).
2. Evalúe lím n s n en los casos siguientes:
a) s = 2
5n
− 4n
+ 13
n 2 b) s
3n
−95n−7
n =
2
8n
− 3
2n
+ 5
c) 3n
+ 7
3
n −2n−9
2
a) Recuérdese que lím
5x
4x
13
n
3x
95x7
5
2 por el problema 13 del capítulo 7. Así,
3
2
lím
5n
4n
13
n
3n
95n7
5
2
. Un resultado semejante se cumple cuando s
3
n es un cociente de los polinomios
del mismo grado.
2
2
b) Recuérdese que lím
8x
3
n por el problema 13 del capítulo 7. Entonces, lím
8n
3
2x
5
n .
2n
5
Un resultado semejante se obtiene cuando s n es una función racional cuyo numerador tiene un grado
mayor que el denominador (y cuyos primeros coeficientes son del mismo signo).
c) Recuérdese que lím
3x
7
n
x 2x9
3
0 por el problema 13 del capítulo 7. Así, lím
3n
7
n
n 2n9
3
0. El
mismo resultado se cumple cuando s n es una función racional cuyo denominador tiene grado mayor que el
numerador.