Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 41 Coordenadas polares
16.
sen 3
(También evaluar
ds
en
.)
3
d
2
2 1 1
' 3 cos
3 y
ds
6 1 4 1 2 1 2 1
sen sen cos sen
d
3 3 3 3
sen
En 1 2 , ds / dθ = π =
sen 2 1 6
1
4
2 2
2( '
) ''
17. Compruebe la fórmula (41.8): K
2 2 3/
2
.
[ ( ' )]
Por definición K = dτ . Ahora, t = q + y y, por tanto,
ds
d d d d d
d d d
1
ds ds ds ds d ds ds d
donde tan 1
. También
2 2
2
d [( ' ) ''
]/( ' ) ( '
) ''
2
2 2
; entonces
d
1 ( / ')
( '
)
2 2
( )
( )
1+ d 2
'
'' 2 ' ''
1
2 2
2 2
d
( '
) ( '
)
Así, K
d d d d d d
1
1 / 1 /
ds d
ds / d
2
( '
)
2 2( '
)
2 ''
2 2 /
[ ( ' )]
2 32
18. Sea r = 2 + sen q. Determine la curvatura en el punto P(r, q).
2 2
2 ( ' ) ''
K
2 2 3/
2
[ ( '
)]
2
2
( 2sen ) 2cos (sen )( 2 sen )
61 ( sen )
2 2 3/
2
[( 2 sen ) cos ]
( 5
4sen ) /
32
19. Sea r(1 – cos q) = 1. Determine la curvatura en
y 4
2 3 .
ρ' =
−senθ
2
( 1−
cos θ)
y ρ' = − cosθ
( 1−
cos θ)
2
2
+
2sen
θ
( 1−
cos θ) ; 3 entonces K = sen 3 θ
2
En
, K =
⎛ 1 ⎞
=
2 ⎝ 2 ⎠
3
2 ; en
4
4 3
3 , K = ⎛ 3 ⎞
⎝ 2 ⎠
= 3
3 .
8
ds 2
20. Compruebe la fórmula (41.7): ( '
)
d
2 .
Sea r una función de q. De x = r cos q y y = r sen q se obtiene dx/dq = –r sen q + (cos q) r’ y dy/dq = r
cos q + (sen q) r’. Por tanto,
2
dx
2 2 2 2
( = ρ θ +( ρ ) θ ρρ θ θ
dθ ) [ sen ' cos − 2 ' sen cos ]
y
2
dy 2 2 2 2
[ cos ( '
) sen 2'
sen cos ]
d
Así,
2 2 2
ds dx dy
( '
)
d d d
2 2
Como s crece con ds 0 y se obtiene la fórmula (41.7).
d
21. Para r = cos 2q, determine ds
d en
. (Supóngase, como es usual, que s aumenta con q.)
4
dρ
ρ'
= =−2sen 2θ
. Por la fórmula (41.7),
dθ
ds
2
cos ( 2 ) 4sen 2 13 2
d
2 2
( ) sen ( )
13sen
2
( /2)
2