Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

24
Teorema fundamental
del cálculo
Teorema del valor medio para integrales
Sea f continua en [a, b]. Así, existe c en [a, b] tal que
f( x) dx( b a) f( c)
(24.1)
b
a
Para comprobarlo, sean m y M los valores máximos y mínimos de f en [a, b]. Se aplica entonces el problema
3c) del capítulo 23 para obtener
b
1 b
mb ( a) f( x) dx Mb ( a)
y, por consiguiente, m f x dx
M
a
b a ( )
a
1 b
Luego, por el teorema del valor intermedio, f x dx f c
b
a ( ) ( ) para algún c en [a, b].
a
Valor promedio de una función en un intervalo cerrado
Sea f definida en [a, b]. Cuando f puede asumir infinitamente muchos valores en [a, b], no es posible hablar de
promedio de todos los valores de f. Más bien, se divide [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud
b a
x *
. Se selecciona un punto arbitrario x
n
k
en el k-ésimo subintervalo, de manera que el promedio de los
valores f ( x1), f( x2), , f( x n
) es
n
f( x1) f( x2)
f( xn)
1
f( x
n
n
k)
Cuando n es grande, este valor es un buen estimado “del valor promedio de f en [a, b]”. Sin embargo, como
1 1
n = b− a Δ x,
n
n
1
1
f x
f x x
n (
k) (
b a
k)
k1
Cuando n , la suma de la derecha tiende a
Definición.
b
a
k1
1 b
El valor promedio de f en [a, b] es f x dx
b a ( ) .
a
k1
f( x)
dx. De ahí surge la definición siguiente.
Sea f continua en [a, b]. Si x está en [a, b], entonces ftdt () es una función de x, y:
a
x
En el problema 4 hallará una demostración.
x
x a
(24.2)
D ftdt () fx ( )
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