Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 53 Derivación e integración de vectores
y las ecuaciones en coordenadas rectangulares son
X − 1
=
Y − 1
=
Z − 1
−11
−8
9
Si R es el vector de posición de un punto general (X, Y, Z) en la binormal, su ecuación vectorial es R – r =
kb o
(X – 1)i + (Y – 1)j + (Z – 1)k = k 3i− 3j+
k
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y las ecuaciones en coordenadas rectangulares son
X − 1 =
Y − 1
=
Z − 1
3 −3
1
3. Halla las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie x = 2(u + v), y = 3(u – v), z = uv en
el punto P(u = 2, v = 1).
Aquí
r = 2(u + v)i + 3(u – v)j + uvk,
r
r
2i 3j uk ,
u
2i 3j uk
v
y en el punto P,
r = 6i + 3j + 2k,
r
r
2i 3j k ,
u
2i 3j 2k
v
y
r
u r 9i 2j 12k
v
Las ecuaciones vectorial y rectangular (cartesiana) de la recta normal son
R r
k r
r
u v
o (X – 6)i + (Y – 3)j + (Z – 2)k = k(9i – 2j – 12k)
y
X − 6 +
Y − 3
=
Z − 2
9 −2
−12
Las ecuaciones vectorial y rectangular (cartesiana) del plano tangente son
( R )
r . r r
u v
0
o [(X – 6)i + (Y – 3)j + (Z – 2)k] [9i – 2j – 12k] = 0
y 9X – 2Y – 12Z – 24 = 0
4. a) Encuentre la derivada direccional de f(x, y) = x 2 – 6y 2 en el punto (7, 2) en la dirección 1 4 .
b) Halle el valor máximo de la derivada direccional en (7, 2).
a) i
x
j
y
( x
2 6y
2) i
j x ( x2 6 y2)
y ( x 2 2
f
6y ) 2xi12yj
y
a = icosθ +jsenθ =
1
2
i+
1
2
j