Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
y
a O (x 0 , 0)
b
x
Fig. 13.2
Corolario 13.3. Teorema generalizado de Rolle. Sea g continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en
el intervalo abierto (a, b). Se presupone que g(a) = g(b). Entonces g(x 0 ) = 0 al menos para un punto x 0 en (a, b).
Observe en la figura 13.3 un ejemplo en el que hay exactamente un punto de éstos. Se advierte que el corolario
13.3 proviene del teorema de Rolle si f (x) = g(x) – g(a).
y
g(a)
g(b)
O a x 0
b
x
Fig. 13.3
Teorema 13.4. Ley de la media o teorema del valor medio. 1 Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable
en el intervalo abierto (a, b). Así, existe al menos un punto x 0 en (a, b) para el cual
fb ( ) fa ( )
f( x )
b
a
0 .
Observe la figura 13.4. En el problema 7 se presenta la demostración. En términos geométricos, la conclusión
indica que existe algún punto dentro del intervalo donde la pendiente f (x 0 ) de la recta tangente es igual a la
pendiente (f(b) – f (a))/(b – a) de la recta P 1 P 2 que une los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) de la gráfica. En ese punto
la tangente es paralela a P 1 P 2 , ya que sus pendientes son iguales.
y
P 1 (a, f(a))
P 2 (b, f(b))
f(a)
f(b)
O
a
x 0
b
x
Fig. 13.4
1
La ley de la media también se denomina Teorema del valor medio para derivadas.