Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Límites por la derecha y por la izquierda
A continuación se explicará qué son los límites laterales de f (x) cuando x se aproxima a a por el lado derecho
o por el izquierdo. Por lím xa – f (x) = A se entiende que f está definida en algún intervalo abierto (c, a) y f (x)
se aproxima a A cuando x se acerca a a por valores menores que a, es decir, cuando x tiende hacia a por la izquierda.
De igual forma, lím xa + f (x) = A significa que f está definida en algún intervalo (a, d) y f (x) tiende a A
cuando x se aproxima a a por la derecha. Si f está definida en un intervalo a la izquierda de a y en un intervalo
a la derecha de a, entonces la afirmación lím xa f (x) = A equivale a la conjunción de las dos afirmaciones
lím xa – f (x) = A y lím xa + f (x) = A. Más adelante verá ejemplos donde la existencia del límite por la izquierda
no implica la existencia del límite por la derecha y a la inversa.
Cuando una función está definida sólo en un lado de un punto a, entonces lím xa f (x) = A es idéntico al límite
lateral, si existe. Por ejemplo, si f(x) = x , entonces f está definida sólo a la derecha de cero. Por tanto, como
lím x0 + x = 0 también escribimos lím x0
x = 0. Claro que lím x0 – x = 0 no existe, ya que x no está definida
cuando x < 0. Éste es un ejemplo en que la existencia de un límite lateral no implica la existencia de un límite
del otro lado. Como otro ejemplo interesante, considere la función g(x) = 1/x, que está definida sólo para x > 0.
En este caso, lím x0 + 1/x no existe, ya que 1/x aumenta más y más sin límite cuando x tiende a cero por la
derecha. Por consiguiente, lím x0
1/x no existe.
CAPÍTULO 7 Límites
EJEMPLO 7.3. La función f(x) = 9 − x 2 tiene el intervalo –3 x 3 como dominio. Si a es cualquier número
del intervalo (–3, 3), entonces lím xa 9 x 2 existe y es igual a 9 − a 2 . Ahora considere a = 3. Sea x que tiende a
3 por la izquierda; entonces lím x3 9 x 2 . Para x > 3, 9 x 2 no está definida, ya que 9 – x 2 es negativa. Por tanto,
lím x3 9 x 2 = lím x3 – 9 x 2 = 0. De igual forma, lím x3 9 x 2 = lím x3 + 9 x 2 = 0.
Teoremas sobre límites
Los teoremas siguientes son intuitivamente claros. Las demostraciones de algunos de ellos están dadas en el
problema 11.
Teorema 7.1. Si f (x) = c, una constante, entonces lím f ( x ) c .
xa Para los cinco teoremas siguientes, se supone que lím f( x)
A y lím gx ( ) B.
Teorema 7.2. lím cf( x) clím f( x) cA.
xa xa
xa
Teorema 7.3. lím[ f( x) g( x)] lím f( x) lím g( x)
A B.
xa xa xa
Teorema 7.4. lím[ f( x) g( x)] lím f( x) lím g( x) AB.
f
Teorema 7.5. lím ( x )
xa
gx ( )
xa xa xa
lím f( x)
xa
A
lím gx ( ) B
, si B 0.
xa
Teorema 7.6. lím n
n n
f( x) = n lím f( x)
= A, si A está definida.
Infinito
Sea
x→a
x→a
lím f( x)
xa
que significa que cuando x tiende a a, a la postre f (x) poco a poco se vuelve mayor que cualquier número positivo
previamente determinado, por grande que fuere. En este caso, f (x) tiende a + cuando x se aproxima a a.
Más exactamente lím xa f (x) = +si y sólo si para cualquier número positivo M existe un número positivo
tal que siempre que 0 < |x – a| < , entonces f (x) > M.
xa