Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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El logaritmo natural
La forma tradicional de definir un logaritmo, log a b, es referirlo como el número u tal que a u = b. Por ejemplo,
log 10 100 = 2 porque 10 2 = 100. Sin embargo, esta definición tiene un vacío teórico. El defecto consiste en que
no se ha definido todavía a u cuando u es un número racional, por ejemplo, 2 o . Este vacío puede llenarse,
pero ello necesitaría un desvío. * También se podría tomar un método distinto que a la postre resultaría en definiciones
lógicamente irrefutables de las funciones logarítmicas y exponenciales. Una desventaja temporal es
que la motivación para la definición inicial no será obvia.
El logaritmo natural
Ya está familiarizado con la fórmula
r1
r
x
xdx C (con r –1)
r 1
El problema sigue siendo determinar qué sucede cuando r = –1, es decir, encontrar la antiderivada de x –1 .
En la figura 25.1 se muestra la gráfica de y = 1/t, para t > 0. Se trata de una rama de la hipérbola. Para x >
1, la integral definida
x 1
1 t dt
es el valor del área que está bajo la curva y = 1/t y por encima del eje t, entre t = 1 y t = x.
Definición
x
ln x 1
t dt para x > 0
1
La función ln x se denomina logaritmo natural. Las razones para llamarlo logaritmo se aclararán posteriormente.
Por (24.2),
(25.1) D (ln x
x ) = 1 para x > 0
x
y
y 1/t
3
2
1
área ln x
0 1 2 3 4 x
t
Fig. 25.1
202
*
En algunos textos de cálculo tan sólo se ignora esta dificultad. Se considera que a u está definida cuando a > 0 y u es cualquier
número real y que las reglas exponenciales usuales son válidas.