Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales
(1.6) x y = |x|
|y| si y 0
Por (1.5), |y| x y = y · x y = |x|. Se divide entre |y|.
(1.7) |x| = |y| implica que x = ±y
Suponga que |x| = |y|. Si y = 0, |x| = |0| = 0 y por (1.3) se obtiene x = 0. Si y 0, entonces por (1.6) se
tiene que
x y = |x|
|y| = 1
Así, por (1.3) x/y = ±1. Por tanto, x = ±y.
(1.8) Sea c 0. Entonces, |x| c si y sólo si –c x c (fig. 1.2).
Suponga que x 0; entonces |x| = x. Asimismo, puesto que c 0, –c 0 x. En consecuencia, |x| c
si y sólo si –c x c. Ahora suponga que x < 0. Entonces |x| = –x. También, x < 0 c. Además, –x
c si y sólo si –c x. (Al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo se invierte la
desigualdad.) Por ende, |x| c si y sólo si –c x c.
(1.9) Sea c 0. Entonces |x|c si y sólo si–c < x < c (fig. 1.2). En este caso el razonamiento es similar al
de (1.8).
xc
xc
c
0
c
c
0
c
Fig. 1.2
(1.10) |x|x|x|
Si x 0, x = |x|. Si x < 0, |x| = –x y, por tanto, x = –|x|.
(1.11) |x + y|≤|x||y|(desigualdad triangular)
Por (1.8), –|x| x |x| y –|y| y |y|. Al sumar se obtiene –(|x| + |y|) x + y |x| + |y|. Entonces, por
(1.8) |x + y| |x| + |y|. [En (1.8) se remplaza c por |x|+ |y| y x por x + y.]
En un sistema de coordenadas dado sobre una recta, sean P 1 y P 2 los puntos sobre ésta que tienen coordenadas
x 1 y x 2 (fig. 1.3). Entonces
(1.12) |x 1 – x 2 | = P 1 P 2 = distancia entre P 1 y P 2 .
Esto resulta claro cuando 0 < x 1 < x 2 y cuando x 1 < x 2 < 0. Cuando x 1 < 0 < x 2 y además se representa
el origen con la letra O, entonces P 1 P 2 = P 1 O + OP 2 = (–x 1 ) + x 2 = x 2 – x 1 = |x 2 – x 1 | = |x 1 – x 2 |.
Como caso especial de (1.12), cuando P 2 es el origen y (x 2 = 0):
(1.13) |x 1 | = distancia entre P 1 y el origen.
P 2 P 1
x 2 x 1
Fig. 1.3
Intervalos finitos
Sea a < b.
El intervalo abierto (a, b) se define como el conjunto de todos los números que hay entre a y b, es decir, el
conjunto de todos los x tales que a < x < b. Se usará el término intervalo abierto y la notación (a, b) también
para todos los puntos entre los puntos con coordenadas a y b en una recta. Observe que el intervalo abierto (a,
b) no contiene los puntos extremos a y b (fig. 1.4).
El intervalo cerrado [a, b] se define como el conjunto de todos los números que hay entre a y b o iguales a a
o b, es decir, el conjunto de todos los x tales que a x b. Como en el caso de los intervalos abiertos, se utiliza
la misma terminología y notación de los puntos en una recta. Observe que el intervalo cerrado [a, b] sí contiene
ambos puntos extremos (terminales) a y b (fig. 1.4).