Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
En los problemas 16 y 17, encuentre todas las segundas derivadas parciales de z y compruebe el teorema 48.1.
16. z = x 2 + 3xy + y 2 .
2
z
2x
3y, z
z
2
2,
x
x
x
x
, ,
2
z
3x
2y
z
z
2
2
y
y
y
y
2
z
z
y x y
x
2
z z
xy
x y
3
3
Observe que 2
2
z z
y x xy .
17. z = x cos y – y cos x.
Observe que 2
2
z z
y x xy .
2
z
cos y ysen x, z
z
x
x
x
x
2
ycos
x
2
z
y x y
seny
z
x
sen x
, 2
z
x seny cosx
z
z
x
y
y
y
y
c os
2
z
x y x
z
y
2
y
senysen
x
18. Sea f(x, y, z) = x cos (yz). Halle todas las derivadas parciales de primero, segundo y tercer orden.
f x = cos(yz), f xx = 0, f yx = –z sen(yz),
f y = –xz sen(yz), f yy = –xz 2 cos(yz),
f zy = –x(zy cos(yz) + sen(yz))
f z = –xy sen(yz), f zz = –xy 2 cos(yz),
f yz = –x(zy cos(yz) + sen(yz))
Observe que f xy = f yx y f xz = f zx y f yz = f zy .
f xxx = 0, f xxy = f xyx = 0, f xxz = f xzx = 0
f xyy = –z 2 cos(yz),
f xzz = –y 2 cos(yz)
f zx = –y sen(yz)
f xy = –z sen(yz)
f xz = –y sen(yz)
f xyz = f xzy = –(zy cos(yz) + sen(yz))
f yyy = xz 3 sen (yz), f yxx = 0, f yxy = f yyx = –z 2 cos(yz)
f yxz = f yzx = –(yz cos(yz) + sen(yz))
f yyz = f yzy = –x(–z 2 y sen(yz) + z cos(yz) + z cos (yz))
= xz(zy sen(yz) – 2cos(yz))
f yzz = –x(–y 2 z sen(yz) + 2y cos(yz))
= xy(z sen(yz) – 2cos(yz))
f zzz = xy 3 sen(yz), f zxx = 0, f zxy = f zyx = –(zy cos(yz) + sen(yz))
f zxz = f zzx = –y 2 cos(yz)
f zyy = –x(–z 2 y sen(yz) + 2z cos(yz)) = xz(zy sen(yz) – 2cos(yz))
f zyz = f zzy = –x(–zy 2 sen(yz) + y cos(yz) + y cos (yz))
= xy(zy sen(yz) – 2cos(yz))
Observe que, en el tercer orden, dos reordenamientos cualesquiera de subíndices serán iguales. Por
ejemplo, f xyz = f xzy = f yxz = f yzx = f zxy = f zyx = –(zy cos(yz) + sen(yz)).