Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 43 Series infinitas
EJEMPLO 43.3. La serie 1 2 3 4
3 + 5 + 7 + 9 +⋅⋅⋅diverge.
n
n +
n
Aquí, s n = 2 1. Como lím n+
2n 1 = 1 2
≠ 0 , el teorema de divergencia implica que la serie diverge.
El recíproco del teorema 43.5 no es válido: lím n+ s n = 0 no implica que s n converja. Esto se muestra
mediante el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 43.4. Considere la famosa serie armónica
sumas parciales de esta serie:
∑
1
1 1 1 1 1
n = + 2
+ 3
+ 4
+ 5
+⋅⋅⋅ . Ahora analice las siguientes
S2
= 1+
1 2
S4
= 1+ 1 +
1
+
1
> 1+ 1 +
1
+
1
= 1+ 1 +
1
= 1+ 2
2 3 4 2 4 4 2 2 2
S
1 1 1 1 1 1 1 1 4
8
= S4 + + + + > S
5 6 7 8
4
+ + + + = S
8 8 8 8
4
+ = S
8
4
+
1
2
S
> 1+
3 2
= S +
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
9 10 11 12 13 14 15 16
> S
1 1 1 1 1 1 1 1
8
+ + + + + + + + = S
16 16 16 16 16 16 16 16
8
+
1
2
16 8
> 1+
4 2
5 6
Si se continúa de esta forma se obtendría S 32
> 1+ 2 , S 64
> 1+ 2 y, en general, S > 1+ k/ 2 cuando k > 1. Esto significa
que lím k
n+ S n = + y, por lo tanto, la serie diverge. Pero observe que lím n+ s n = lím n+ n =
2
0.
Observación: la convergencia o la divergencia no se ve afectada por la adición o eliminación de un número
finito de términos al comienzo de una serie. Por ejemplo, si se borran los primeros k términos de una serie y la
suma de los términos borrados es c, entonces cada nueva suma parcial T n tendrá la forma S n+k – c. (Por ejemplo,
T 1 es S k+1 – c.) Pero lím n+ S n+k – c) existe si y sólo si lím n+ S n+k existe, y lím n+ S n+k existe si y sólo si
lím n+ S n existe.
Notación: suele resultar útil tratar las series en las que los términos de S n tienen índices enteros no negativos:
s 0 , s 1 , s 2 , s 3 ,. Entonces, las sumas parciales S n también comenzarían con S 0 = s 0 , y la suma de una serie
convergente se representaría como
+∞
∑ s n
n= 0
.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determine si la serie 1 +
1 1
2
+
3
+⋅⋅⋅ es convergente.
5 5 5
Ésta es una serie geométrica con razón r = 1 y el primer término a = 5 1. Como | r | = 1 <
5 5 1 . El teorema 43.1a)
dice que la serie converge y que su suma es
a 15 15 1
1− r
= /
=
/
=
1−
( 1/
5)
45 / 4
2. Analice la serie 1 1 1 1
12 23
34
para hallar la convergencia.
45
1
El n–ésimo término es
n
( n 1) . Esto es igual a 1 − 1 . Por lo tanto, la n–ésima suma parcial
n n + 1
S
n =
1
+
1
+
1
+
1
+⋅+
1
12 ⋅ 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 n ⋅ ( n + 1)
( ) + 1 1 1 1 1 1 1 1
( −
2 3) + ( 3 4 ) − + ( 4
− 5) +⋅⋅⋅+ ( − + 1)
=
1
−
1
1 2
n n
= 1− 1
n + 1