Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Â≪ ...stupefatto del modo in cui [abbia] misurato la piramide senza il minimo
imbarazzo e senza strumenti. Piantata un’asta al limite dell’ombra proiettata
dalla piramide, poiché i raggi del sole, investendo l’asta e la piramide
formavano due triangoli, [ha] dimostrato che l’altezza dell’asta e quella della
piramide stanno nella stessa proporzione in cui stanno le loro ombre. Â≫
Plutarco, convivio dei sette sapienti.
Non sappiamo se Talete abbia realmente dimostrato il teorema che porta
il suo nome o se (molto più probabilmente) abbia semplicemente usato la
proprietà espressa nel suo enunciato, dopo averla appresa da altri, magari dai
Caldei, come sostengono alcuni studiosi; se però si vuole considerare l’aneddoto
non infondato, bisogna per forza presumere che avesse buona conoscenza delle
proprietà citate e delle implicazioni inerenti ai triangoli simili.
Per renderci conto del procedimento di Talete è necessario considerare il
triangolo avente per lati il bastone e la sua ombra: esso è rettangolo e avendo
due lati uguali ha uguali anche due angoli. Il triangolo in esame è metà di
un quadrato, per cui ciascuno dei due angoli uguali, pari a metà di un angolo
retto, ha ampiezza 45 ◦ . In altri termini, tale triangolo è isoscele quando i
raggi solari hanno un’inclinazione di 45 ◦ . Allora, dato che i raggi sono paralleli
fra loro, anche il triangolo ideale individuato dall’altezza della piramide e
dalla sua ombra è isoscele. Pare comunque che Talete abbia saputo generalizzare
il problema, determinando l’altezza della piramide indipendentemente
dall’inclinazione dei raggi solari. Considerando infatti triangoli rettangoli con
le ipotenuse aventi uguale inclinazione rispetto alle basi, il numero che esprime
quante volte l’altezza è contenuta nella base è lo stesso per tutti i triangoli.
Se, per esempio , il lato AB è la metà di BC nel triangolo ABC, anche il lato
VO è la metà di OM nel triangolo VOM. In termini moderni diciamo che i due
triangoli sono simili e che i lati sono proporzionali. Tornando alla piramide risulta
allora chiaro il procedimento generale seguito da Talete: se, per esempio,
l’altezza AB del bastoncino è metà della sua ombra BC, per avere l’altezza
VO della piramide basterà misurare OM (che è metà del lato della piramide
più l’ombra da questa proiettata) e prenderne la metà. L’importanza delle
osservazioni di Talete non sta tanto nel procedimento seguito per risolvere un
problema, quanto nel modo assolutamente nuovo di considerare la figura geometrica.
Si è all’inizio di una evoluzione fondamentale per la geometria: il passaggio
dalla materializzazione delle figure, tipica dei geometri egizi, alla loro idealiz-
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