Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

matico in sè concluso, risalente presumibilmente alla prima metà del V secolo
a.C.
5.6.8 Gli incommensurabili
Libro X
Il libro X comprende (complessivamente) un quarto degli Elementi. In
esso, l’ algoritmo di Euclide è applicato a grandezze generiche per ottenere
un criterio per la commensurabilità. Viene intrapresa inoltre una classificazione
dei tipi di irrazionali: Euclide investiga ogni possibile varietà di linea
retta che può essere rappresentata (con la terminologia algebrica moderna) da
� √a ± √ b, dove a e b raprresentano due linee rette commensurabili.
La scoperta di grandezze incommensurabili rappresenta uno dei risultati più
importanti degli antichi Greci, anche se subito dopo la scoperta degli irrazionali,
l’ αλoγoν, l’ inesprimibile, venne ripudiato e respinto. Si disse che ad
ogni numero corrispondeva un segmento, ma non viceversa, ma i numeri irrazionali
avevano ormai fatto la loro comparsa. Euclide si limita a quelli che noi
chiamiamo irrazionali quadratici e biquadratici e alle loro somme e differenze,
ma ne dà una esposizione così esatta e chiara che alcuni studiosi considerano
questo libro un capolavoro che sorpassa tutti gli altri.
Il libro parte con la definizine di grandezze incommensurabili:
DEFINIZIONE X.1: Sono dette commensurabili quelle grandezze che sono misurate
dalla stessa misura, e incommensurabili quelle che non possono avere
alcuna misura comune.
Ossia un segmento b commensurabile con un segmento a è della forma
b = m
n a
con m, n numeri interi.
In tutti gli Elementi Euclide considera il misurare una nozione “primitiva”, di
cui non dà dimostrazione. Le grandezze di questo libro sono sempre linee e
rettangoli. Il concetto di incommensurabilità è raffinato nella
DEFINIZIONE X.2: Le linee rette sono commensurabili in potenza quando
i quadrati costruiti su di esse sono misurati dalla stessa area, e incommensurabili
in potenza quando i quadrati costruiti su di esse non possono avere
nessuna area come misura comune.
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