Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

al proprio interno punti di tale insieme.
La derivata prima P ′ di un insieme di punti P ovunque denso in un dominio
continuo a contiene (come tutte le derivate successive) il dominio a stesso con
tutti i punti del suo contorno, e questa proprietà di un insieme P può anche
essere presa, conversamente, come punto di partenza della definizione del suo
essere ovunque denso nel dominio a.
Anche il concetto di potenza, che comprende in sé come caso particolare quello
di numero intero, cioè il fondamento della teoria delle grandezze, e può essere
visto come l’autentico momento generalissimo delle molteplicità, è tanto poco
limitato agli insiemi lineari di punti che va piuttosto considerato un attributo
di qualsiasi molteplicità ben definita, quale che sia poi il carattere concettuale
dei suoi elementi.
Chiamo ben definita una molteplicità (una classe, un insieme) di elementi
appartenenti a una sfera concettuale qualsiasi quando sulla base della sua definizione,
e come conseguenza del principio logico del terzo escluso, si deve
considerare determinato internamente: primo, se un qualunque oggetto appartenente
a quella stessa sfera concettuale sia o non sia elemento della molteplicità
che viene pensata; secondo, se due oggetti appartenenti all’insieme
siano o non siano, al di là di una differenza formale nel modo in cui sono dati
uguali l’uno all’altro.
In generale, di fatto queste alternative non potranno essere decise in modo sicuro
e preciso coi metodi o le capacità a nostra disposizione; qui però non stiamo
affatto discutendo di questo, ma soltanto della determinazione interna, che in
certi casi concreti, se l’obiettivo lo richiede, si dovrà cercare di trasformare in
determinazione attuale (esterna) perfezionando l’apparato strumentale.
Ricordiamo, a scopo illustrativo, la definizione dell’insieme di tutti i numeri
algebrici. Questa può sicuramente essere formulata in modo tale che con essa
sia anche determinato internamente se un certo numero η, comunque preso,
appartiene ai numeri algebrici oppure no; ciononostante, spesso il problema
di giungere effettivamente a una decisione per un η dato risulta, com’è noto,
dei più difficili, e per esempio è ancora una questione aperta (e del più alto
interesse) se π, il numero che esprime il rapporto della circonferenza col diametro,
sia algebrico o, come è molto probabile, trascendente. Per e, il numero
base del sistema dei logaritmi naturali, il problema è stato risolto appena otto
anni fa da Ch. Hermite nel suo splendido ‘Sur la fonction exponentielle, Paris
1874’, in cui si dimostra che e non è radice di nessuna equazione algebrica con
coefficienti razionali interi.
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