Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

del Saggio di Beltrami, era lo stretto legame tra la geometria di Lobačevskij
sul piano e la geometria su una pseudosfera.
Definito un sistema di coordinate su di essa dato da due sistemi di geodetiche
ortogonali tra di loro, Beltrami riusciva a dimostrare che le geodetiche
della superficie pseudosferica potevano essere interpretate come corde di un
cerchio del piano euclideo. Egli introduceva poi la nozione di angolo di parallelismo,
otteneva un’interpretazione nel suo modello degli orocicli e ritrovava
le formule e i teoremi di Lobačevskij. Il modello di Beltrami fu fondamentale
per la diffusione delle geometrie non-euclidee, anche se aveva un limite: nel
1901 infatti Hilbert (1862-1943) dimostrò che non esiste una superficie regolare
in cui vale nella sua integrità la geometria di Lobačevskij, quindi il modello
di Beltrami è un modello solamente locale. Nonostante questo, esso fu molto
importante dal punto di vista storico, perché fu il primo di diversi modelli che
iniziarono a far cadere le opposizioni e i preconcetti verso i nuovi sistemi. Anche
altri matematici trovarono applicazioni delle geometrie non-euclidee, ad
esempio Klein (alla geometria proiettiva) e Poincaré (1854-1912) (al semipiano
complesso).
L’introduzione di tutti questi modelli, alcuni matematicamente molto importanti,
permise finalmente alle geometrie non-euclidee di entrare a far parte
del patrimonio della matematica.
15.5 Le geometrie non-euclidee oggi
In questo capitolo vogliamo illustrare come, utilizzando i risultati dell’algebra
e delle applicazioni bilineari, si possano costruire dei modelli di piani
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