Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

identici (assioma di estensione) ma per le specie l’identità consiste nella maniera
in cui sono definite. Brouwer diede quindi un’analisi matematica del
continuo usando specie e sequenze di scelta di intervalli razionali; la novità
era che le sequenze non erano un metodo per approssimare un numero reale,
ma il numero reale stesso! Nasceva però un problema: come “operare” con
le sequenze di scelta, che sono oggetti infiniti? Brouwer trovò la risposta nell’affermare
che non abbiamo mai bisogno di considerare l’intera sequenza di
scelta. Nello specifico, il principio di continuità debole per i numeri dice che
una funzione totale da sequenze di scelta a numeri naturali non ha mai bisogno
di più input di un segmento iniziale per produrre lo stesso output, quindi
tutte le sequenze che condividono lo stesso segmento iniziale daranno luogo
allo stesso valore. Questo principio fu liberamente utilizzato da Brouwer, che
però non lo giustificò mai.
La logica
Già nella tesi Brouwer aveva fatto notare che, dato che la matematica si
sviluppa a partire dalla duo-unità, essa è assolutamente indipendente dalla
logica, visto che non procede seguendo i suoi schemi. Era invece la logica a
dipendere dalla matematica. Essa, secondo lo studioso aveva natura linguistica:
egli riteneva che le leggi logiche fossero schemi di espressioni linguistiche,
che coglievano le strutture ricorrenti nell’espressione del ragionamento (della
matematica) e le estrapolavano. Una legge logica nasceva nello stesso modo
in cui nasce una legge nella scienza: evidenziando sequenze ricorrenti (regolarità
linguistiche dell’espressione logica) ed etichettandole come rapporto
causa-effetto. Tali regolarità venivano quindi attribuite all’attività matematica
stessa.
Quello che Brouwer criticava era lo spostamento di attenzione dalle costruzioni
della matematica alle regolarità del linguaggio attraverso cui si parlava
di matematica: per quanto si possa privare di contraddizioni, esso rimane un
linguaggio, che quindi è inaffidabile. Proprio le antinomie erano un segnale di
quanto fosse sbagliato fondare la matematica sulla logica: mentre il ragionamento
matematico non può presentare contraddizioni, esse evidenziano quanto
un linguaggio possa essere contraddittorio parlando di matematica.
Il linguaggio simbolico solitamente usato in logica aveva altri limiti, primo
tra tutti la freddezza, che lo rendeva inadeguato: per Brouwer il linguaggio
ha lo scopo di convincere l’interlocutore, dunque deve sempre avere una
certa componente persuasiva. Un’altra probabile motivazione della diffiden-
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