Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

15.5.1 Metriche e assoluto
Piano ellittico
Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione tre e si consideri su V
un’applicazione bilineare, simmetrica, definita positiva: g : V × V −→ R; sia
poi ||v|| = � g(v, v) per ogni vettore v ∈ V .
Fissato un numero reale R > 0, sia K = 1/R2 .
Definiamo allora su P(V ) la metrica δK, ponendo:
� �
δK(P, Q)
cos
=
R
|g(v, w)|
||v|| ||w|| ,
dove P = σ 〈v〉 , Q = σ 〈w〉 e 0 ≤ δK(P, Q) ≤ Rπ
2 .
I numeri reali R e K sono detti, rispettivamente, raggio di curvatura e
curvatura della metrica δK. Chiameremo poi piano ellittico di curvatura K il
piano proiettivo P(V ) dotato della metrica δK.
Per il piano ellittico l’assoluto Γ corrisponde alla conica senza punti reali
determinata da g. La sua matrice nella base canonica è:
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Piano iperbolico
⎞
⎟
⎠ oppure
⎛
⎜
⎝
1 0 0
0 ɛ 0
0 0 ɛ
⎞
⎟
⎠ con ɛ > 0
Per poter avere una definizione soddisfacente di metrica su un piano iperbolico
dovremo accontentarci di definirla solo a un sottoinsieme del piano
proiettivo.
Sia quindi V uno spazio vettoriale reale di dimensione tre e si consideri su
V un’applicazione bilineare, simmetrica, non degenere e non-definita di inerzia
i(g) = 1: g : V × V −→ R.
Consideriamo i sottoinsiemi di V :
T = {v ∈ V | g(v, v) < 0} e C = {v ∈ V | g(v, v) = 0}
e osserviamo che se v ∈ T (rispettivamente v ∈ C) allora 〈v〉 \ {0} ⊆ T
(rispettivamente 〈v〉 ⊆ C) .
Poniamo inoltre ||v|| := � −g(v, v) per ogni v ∈ T e diciamo che due vettori
v e w di T sono concordi se g(v, w) < 0 (cioè se appartengono alla stessa falda
dell’iperboloide).
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