Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

modo aggiungendo (γP A1) agli assiomi per costruire PA2 e via così. Ma in
ogni caso è possibile costruire una proposizione indimostrabile.
Per questo si parla di Incompletezza essenziale, cioè che non può essere
risolta aggiungendo assiomi al sistema.
Dunque il teorema si può generalizzare a tutti i sistemi formali simili a
quello che abbiamo scelto noi:
Teorema 113 (Primo Teorema di Incompletezza). Se un sistema formale in
cui è possibile esprimere l’aritmetica è coerente, allora esiste al suo interno
una proposizione indecidibile, cioè tale che non può essere dimostrata e non
si può dimostrare neppure la sua negazione.
In altre parole, questo ci dice che il sistema non è completo, cioè al suo
interno non è possibile decidere riguardo ad ogni proposizione formulabile.
Dunque ogni sistema di questo tipo che sia coerente è anche incompleto.
19.3.5 Il Secondo Teorema di Gödel
Cerchiamo di capire come il fatto di aver dimostrato che esiste una proposizione
non ammissibile all’interno del sistema possa portarci a vedere che è
impossibile dimostrare la coerenza al suo interno.
Abbiamo già visto che un sistema si dice coerente se al suo interno non è
possibile dimostrare contemporaneamente una proposizione e la sua negazione.
Sistemi non coerenti hanno una scarsa utilità, in quanto all’interno di essi
sarebbe dimostrabile qualunque cosa 9 . Ma allora dimostrare la coerenza di
un sistema equivale a dimostrare che esiste almeno una proposizione non dimostrabile.
Dunque la proprietà di un sistema di essere coerente può essere
formalizzata nella seguente espressione del sistema:
∃y(∀x(¬Dim(x, y)))
Chiamiamo (A) questa espressione. Con il primo teorema abbiamo visto
che se un sistema è coerente allora la formula (γ) non è dimostrabile all’interno.
Ma poiché (γ) afferma la sua stessa indimostrabilità, affermare che (γ) non è
9 Perché per le regole di deduzione logica, da una contraddizione è possibile derivare
qualunque cosa.
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