Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

3. il grado di questa equazione algebrica finale determina i mezzi geometrici
con cui si poteva eseguire la costruzione geometrica richiesta: per
equazioni di secondo grado bastano rette e cerchi, per quelle di terzo e
quarto grado erano adatte le sezioni coniche.
Oltre a questo metodo a Descartes va il merito di aver sviluppato il formalismo
algebrico al punto che La géometrie è il più antico testo matematico che uno
studente di algebra odierno potrebbe leggere senza incontrare difficoltà nella
notazione. Descartes usava le prime lettere dell’alfabeto per indicare i parametri
e le ultime per indicare le incognite, utilizzava i simboli ‘+’ e ‘-’ e una
particolare notazione esponenziale per le incognite (potenza e radice quadrata).
C’è però una importante differenza concettuale: mentre noi concepiamo i
parametri e le incognite come numeri, Descartes li concepiva come segmenti.
Egli però rompeva con la tradizione greca in questo aspetto: infatti invece di
considerare, per esempio x 2 e x 3 come un’area e un volume rispettivamente,
li interpretava anche essi come segmenti.
La costruzione geometrica delle radici di equazioni di secondo grado
Nel I libro, Descartes fornisce dettagliate istruzioni sul modo di costruire
geometricamente le soluzioni delle equazioni di secondo grado. Infatti una
volta che nella risoluzione di un problema si è giunti ad un’equazione, poi si
può ancora dare alla soluzione un’interpretazione geometrica.
Per l’equazione z2 = az + b2 , per esempio, dall’algebra si sa che
�
��
�
�a � �
2
�
z = a
2 ±
2
+ b 2
Descartes procedeva con il dare la costruzione per z nel modo seguente:
tracciava un segmento LM di lunghezza b e da L innalzava un segmento
NL uguale ad a
2 e perpendicolare a LM. Con centro in N costruiva un cerchio
di raggio a
2 e tracciava la retta passante per M e N e intersecante il cerchio
nei punti O e P. Si notava quindi il triangolo rettangolo LMN dove MN per
il Teorema di Pitagora è uguale a MN = � (LN 2 + LM 2 ��� � �
a 2
) = 2 + b2 .
Quindi z=OM=ON+MN= a
2 +
��� � �
a 2
2 + b2 era il segmento cercato che rappresentava
geometricamente la soluzione. (Descartes trascurava la radice PM
dell’equazione perché era “falsa” cioè negativa).
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