Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

II. Sulla natura delle linee curve
III. La costruzione dei problemi solidi o più che solidi.
Non entrando nei dettagli che riguardano la trattazione di questi libri poniamo
l’attenzione su come Descartes applicava il suo metodo alla geometria. Descartes
criticava la geometria degli antichi perché ogni dimostrazione richiedeva
sempre nuovi e ingegnosi ragionamenti: Era un’arte confusa e oscura.
Criticava inoltre l’algebra del suo tempo perché era troppo soggetta a regole
e a formule:..ne risultava un’arte piena di confusione calcolata per mettere in
imbarazzo invece che una scienza atta a migliorare la mente. Egli si propose
di prendere il meglio da entrambe e quindi il suo scopo diventava duplice: egli
faceva uso dell’algebra nella geometria per la risoluzione di problemi di luoghi
geometrici e allo stesso tempo si proponeva di tradurre le cinque operazioni
algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e estrazione della
radica quadrata) nel linguaggio della geometria. Egli mostrava che le cinque
operazioni aritmetiche corrispondono a semplici costruzioni effettuate con riga
e compasso giustificando così l’introduzione di termini aritmetici nella geometria.
Esaminiamo almeno la prima costruzione che egli presenta. Sia data una
linea AB rappresentante l’unità e occorra moltiplicare BD per BC. Disposti
BA e BD su una stessa semiretta e BC su una semiretta qualsiasi di origine B,
si traccia CA e poi DE parallela a CA. Il semplice esame della figura mostra
come la linea BE sia quella richiesta. Infatti, la similitudine dà AB : BD = BC
: BE. Da questa proporzione deduciamo che AB · BE = BD · BC. Ma se assumiamo
AB come unità dei segmenti sarà lecito porre AB · BE = BE. Ed ecco
dunque come la reinterpretazione della Proposizione 12 del Libro VI degli Elementi
consente di costruire il segmento prodotto di due segmenti. Ma la stessa
Proposizione è anche la chiave interpretativa per la divisione. BC è infatti il
risultato della divisione di BE per BD. L’estrazione di radice quadrata si compie
con una reinterpretazione della Proposizione 13, nel modo ben noto(in un
triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra
le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa). Se Descartes criticava l’algebra del
suo tempo ne vedeva però anche in generale la sua potenza rispetto ai metodi
geometrici per risolvere i problemi: essa rende infatti meccanici i ragionamenti
e rende minimo il lavoro necessario per risolvere i problemi. Si propone quindi
di dare ad essa una struttura perfettamente razionale che faccia uso solo di
verità chiare ed evidenti. Per attuare la propria riforma ha bisogno di una
unità di misura, di un fondamento assoluto. Introduce l’uso sistematico degli
assi coordinati che permettono di rappresentare i punti con coppie o terne di
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