Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Dimostrazione alternativa di (D)
Per x intendiamo, come sopra, una variabile che assume tutti i valori dell’intervallo
[0, 1], estremi inclusi; sia invece e una variabile che ammette solo i
valori irrazionali di tale intervallo. Dobbiamo dimostrare che x ∼ e.
Rappresentiamoci, come fatto anche sopra, i numeri razionali ≥ 0 e ≤ 1 sotto
forma di una successione con membro generico φν, dove ν percorre l’intera
successione numerica 1, 2, 3, ... Prendiamo inoltre una qualsiasi successione
infinita di numeri irrazionali distinti compresi nell’intervallo (0, 1), e sia µν il
√
2
membro generico di questa successione (per es.µν = 2ν ).
Sia h una variabile che ammette tutti i valori dell’intervallo (0, 1) a eccezione
delle φν e delle µν. Avremo allora,
e
x ≡ {h, µν, φν} (12.14)
e ≡ {h, µν}
L’ultima formula può essere scritta anche nel seguente modo:
e ≡ {h, µ2ν−1, µ2ν}. (12.15)
Osservando che h ∼ h, µν ∼ µ2ν−1, φν ∼ µ2ν e applicando le formule 13.1 e
13.4 e il teorema (E),otteniamo
x ∼ e,
come volevasi dimostrare. ✷
Dopo aver verificato la correttezza della dimostrazione, Dedekind invita
Cantor a non giungere a conclusioni troppo affrettate. Gli scrive, infatti
“Se i punti di due domini di dimensioni diverse possono essere posti
in una corrispondenza reciproca e completa, allora tale corrispondenza
è del tutto discontinua. [. . . ] Per riempire le lacune voi siete
obbligato ad introdurre nella corrispondenza una discontinuità da
far venire le vertigini, che trasforma tutto in atomi”.
Rispondendo a tale osservazione, Cantor sottolinea che non intende mettere
in discussione il concetto di dimensione e invarianza della dimensione ma che
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