Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

ij = k, jk = i, ki = j,
ji = −k, kj = −i, ik = −j
Hamilton rimase molto entusiasta di questa scoperta tanto che in una lettera
al figlio leggiamo che il 16 ottobre 1843, preso dall’intuizione, incise sul ponte
Brougham a Dublino la soluzione appena trovata.
I restanti 22 anni della sua vita li dedicò allo studio e allo sviluppo del corpo H
dei quaternioni trovando innumerevoli applicazioni nella geometria, nell’ottica
e nella meccanica. Il suo sogno era scrivere in formalismo quaternionale le
equazioni della Fisica allora conosciute, in particolare correlare il laplaciano
di una funzione al quadrato dell’operatore:
∇ = i ∂ ∂ ∂
+ j + k
∂x ∂y ∂z
−∇ 2 = ∂2 ∂2 ∂2
+ +
∂x2 ∂y2 ∂z2 Fu lui infatti ad inventare il nome e la forma del “nabla” (il nome viene da un
antico strumento musicale ebraico di forma triangolare).
La sua ambizione e passione per la fisica lo spinsero a cercare di riscrivere le
neonate equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico in termini quaternionali,
ma purtroppo non visse abbastanza a lungo per portare a termine
l’impresa.
I quaternioni
Diamo di seguito la definizione e alcune proprietà dei quaternioni. Si
osservi che utilizziamo la notazione moderna e non quella di Hamilton.
Definizione 14. L’insieme H dei quaternioni è un R-spazio vettoriale che ha
per elementi combinazioni lineari nella forma a + bi + cj + dk con a, b, c, d ∈ R
munito di un prodotto che soddisfa le seguenti condizioni:
1. il prodotto è bilineare;
2. q = 1 + 0i + 0j + 0k è l’elemento unità;
3. valgono:
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1
ij = k; jk = i; ki = j;
ji = −k; kj = −i; ik = −j.
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