Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

pratica negli scritti di metamatematica di Hilbert e dei suoi collaboratori, queste
operazioni di base si generalizzavano a operazioni più complicate definite
per ricorsione. Analogamente, le affermazioni plausibili che si possono dare
sui numerali non sono solamente quelle di uguaglianza o disuguaglianza, ma
anche alcune semplici proprietà decidibili, come ad esempio p è primo. Questo
è finitisticamente accettabile poiché la funzione caratteristica di questa proprietà
è essa stessa finitistica: l’operazione che trasforma un numerale in —
se esso è primo e in —— altrimenti è una funzione ricorsiva primitiva, dunque
finitistica. Le proposizioni più problematiche sarebbero quelle che esprimono
fatti generali sui numerali, come 1 + n = n + 1.
È problematica perché non
può essere negata dal punto di vista finitista e, come dice Hilbert, “non si
può, dopo tutto, fare la prova con tutti i numeri”. Insomma, Hilbert attribuiva
un ruolo privilegiato nella matematica alla teoria dei numeri elementare,
che dipende esclusivamente da una base puramente intuitiva di segni concreti.
Talvolta si presenta il punto di vista di Hilbert in modo errato, suggerendo
l’idea che Hilbert ritenesse che i numeri fossero i segni material sulla carta
(o su un altro supporto).
È importante sottolineare come questa concezione
sia errata nel senso che le affermazioni della teoria dei numeri elementare non
possono dipendere da fatti fisici esterni o possibilità fisiche. 2
16.4 Hilbert e l’intuizionismo
Dato che i numerali della matematica finitistica sono semplicemente i segni
e l’esistenza di un dominio in cui esistano a priori non è garantita, la concezione
della quantificazione intesa da Hilbert è molto vicina a quella intuizionista.
Per cui, ad esempio, una dimostrazione di una proposizione di esistenza del
tipo “esiste n tale che P(n)” per essere valida dev’essere “costruttiva” nel senso
seguente: deve esibire un n tale che P(n) sia vera oppure indicare un metodo
con cui si possa in linea di principio trovare un tale n. Perciò, ad esempio,
l’inferenza da una proposizione come “non per tutti gli n, P(n)” a “esiste un
n tale che non P(n)” non è ammissibile. Poiché questa inferenza segue dal
principio del terzo escluso, per Hilbert tale principio non è utilizzabile nella
matematica finitaria. Hilbert e i suoi collaboratori erano consapevoli del fatto
che le assunzioni necessarie alla costruzione, per esempio, dell’analisi non hanno
una giustificazione finitistica quindi non possono essere dimostrate vere.
2 Ad ogni modo, le questioni filosofiche sull’aritmetica finitista e sul modo in cui la
intendeva Hilbert sono piuttosto spinose e trascendono gli scopi di questa relazione.
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