Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Definiamo ora le seguenti operazioni su (C(Q)/ ≡):
• Somma: [an]≡ + [bn]≡ = [an + bn]≡. L’elemento neutro è la classe delle
successioni equivalenti a (O) e −[an]≡ = [−an]≡.
• Prodotto: [an]≡ · [bn]≡ = [an · bn]≡. L’elemento neutro è la classe delle
successioni equivalenti a (1) e [an] −1
≡ = [ 1
an ]≡, se [an]≡ �= [0]≡.
Sono ben definite e lo proviamo per la somma: da (an) ≡ (cn) segue che ∀ ε
2 > 0
∃ n tale che ∀n > n si ha |an − cn| < ε
2 ; da (bn) ≡ (dn) segue che ∀ ε
2 > 0 ∃ m
tale che ∀n > m si ha |bn − dn| < ε
2 . Si ha
[an]≡ + [bn]≡ = [an + bn]≡
[cn]≡ + [dn]≡ = [cn + dn]≡
Per mostrare che la somma è ben definita devo mostrare che è indipendente
dai rappresentanti scelti cioè che
cioè devo mostrare che
[an + bn]≡ = [cn + dn]≡
(an + bn) ≡ (cn + dn)
ossia che ∀ε > 0, ∃ n0 tale che ∀n > n0 si ha |(an + bn) − (cn + dn)| < ε.
Considero n0 = max {n, m}, allora ∀n > n0
|(an + bn) − (cn + dn)| = |(an − cn) + (bn − dn)|
≤ |an − cn| + |bn − dn| < ε ε
+ = ε .
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Con queste operazioni sulle classi di equivalenza possiamo dire che (C(Q)/ ≡
) è un anello e lo possiamo indicare con (C(Q)/Z(Q)).
Definizione 92. Una successione di Cauchy (an) è positiva, o (an) � 0, se
∃ q > 0 e un opportuno n ∗ tali che an > q ∀n > n ∗ .
Sull’anello (C(Q)/Z(Q)) possiamo definire la seguente relazione d’ordine:
[an]≡ ≤ [bn]≡ ⇐⇒ (bn − an) � 0 .
La proprietà riflessiva e la proprietà transitiva sono ovvie. Dimostriamo l’antisimmetrica:
basta far vedere che se [an]≡ ≥ 0 e [an]≡ ≤ 0, allora [an]≡ = 0.
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