Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

a dare una risposta negativa che quasi si considera superflua una
dimostrazione”.
La questione venne lasciata in sospeso per alcuni anni poiché Cantor, allora,
non aveva ancora a disposizione tutti gli strumeti necessari per sviluppare
appieno la questione. Il problema ritornò alla mente di Cantor nel 1877, come
testimonia la lettera che egli inviò a Dedekind il 20 Giugno 1877:
“Vorrei sapere se voi considerate aritmeticamente rigoroso un metodo
di dimostrazione da me applicato. Si tratta di dimostrare che
le superfici, i volumi ed anche le varietà continue a p dimensioni
possono essere messi in corrispondenza univoca con curve continue,
dunque con varietà a una sola dimensione, che le superfici, i
volumi, le varietà a p dimensioni hanno dunque la stessa potenza
delle curve; questa opinione appare opposta a quella generalmente
diffusa, particolarmente tra i rappresentanti della nuova geometria,
secondo la quale si parla di varietà semplicemente, doppiamente,
triplamente, p volte infinite; ci si presenta a volte addirittura le
cose come se si ottenesse l’infinità dei punti di una superficie elevando
in qualche modo al quadrato, quella di un cubo elevando al
cubo, l’infinità di punti di una linea [...]. Voglio parlare dell’ipotesi
secondo la quale una molteplicità continua p volte estesa necessita,
per la determinazione dei suoi elementi, p coordinate reali fra loro
indipendenti, questo numero non potendo essere, per una stessa
molteplicità, né aumentato né diminuito. Anch’io ero arrivato a
credere a questa ipotesi, ero quasi persuaso della sua esattezza;
il mio punto di vista differiva da tutti gli altri soltanto nel fatto
che consideravo questa ipotesi come un teorema che necessitava,
ad alto livello, una dimostrazione, e avevo precisato il mio punto
di vista sotto forma di domanda sottomessa ad alcuni colleghi, in
particolare anche all’occasione del giubileo di Gauss a Göttingen.
Siano x1, x2, . . . , xp variabili reali indipendenti che possono assumere
tutti i valori ≥ 0 e ≤ 1. Sia y una (p + 1)-esima variabile
reale con il medesimo dominio di variazione.
È allora possibile
far corrispondere le p grandezze x1, . . . , xp alla sola grandezza y in
modo tale che a ciascun sistema determinato di valori (x1, . . . , xp)
corrisponda un valore y? E, viceversa, è possibile che a ciascun
valore determinato y corrisponda uno ed un solo sistema di valori
(x1, . . . , xp)?
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