Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Cioè un segmento b commensurabile con a nella seconda potenza è della forma
b =
� m
n a
dove m
n non è un quadrato perfetto.
Nella definizione X.3 stabilisce che esistono, in numero infinito, linee rette
commensurabili e linee rette incommensurabili, sia in lunghezza soltanto che
anche in potenza, con una linea retta preassegnata, e chiama la linea retta
preassegnata, e le linee rette con essa commensurabili,sia in lunghezza che
in potenza, sia soltanto in potenza, razionali (o esprimibili), e le linee rette
con essa incommensurabili, irrazionali (o non esprimibili). Questa definizione
introduce, in sostanza, quella che noi chiamiamo unità di misura. Notiamo
la differenza della terminologia di Euclide dalla nostra: egli chiama razionale
anche una grandezza della forma
b =
� m
n a
dove a è razionale.
DEFINIZIONE X.4: Il quadrato costruito sulla linea retta assegnata si chiamerà
razionale, e le aree con esso commensurabili si chiameranno razionali;
mentre si chiameranno irrazionali le aree con esso incommensurabili, e irrazionali
le linee rette il cui quadrato è equivalente a quelle aree.
Così, secondo il linguaggio euclideo, segmenti razionali determinano quadrati
razionali, e segmenti irrazionali determinano quadrati irrazionali.
La prima proposizione costituisce il fondamento della comparabilità delle grandezze
commensurabili:
PROPOSIZIONE X.1: Assegnate due grandezze disuguali, se dalla maggiore
si sottrae una grandezza più grande della sua metà, e da cio che resta una
grandezza più grande della sua metà, e se questa operazione si ripete successivamente,
resterà una grandezza che sarà più piccola della grandezza minore
assegnata.
Vediamo quindi che Euclide prende in considerazione classi di grandezze che
soddisfano il postulato di Archimede. Questa proposizione sta alla base del
metodo di esaustione, che trova un’ importante applicazione nelle proposizioni
del libro XII.
PROPOSIZIONE X.2: Date due grandezze disuguali, se sottrendo ripetute volte
di seguito dalla grandezza maggiore la minore, nessuna delle grandezze che
187