Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

predecessori e che era il suo vanto anche all’interno dell’Ecole, le definizioni di
alcuni concetti elementari erano però lasciate a complesse spiegazioni discorsive,
in cui si intuiscono le definizioni rigorose date dai matematici successivi.
Possiamo vedere a tal proposito la definizione di limite:
allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano
indefinitamente ad un valore fissato, sì da differirne alla fine tanto poco
quanto si vorrà, quest’ultima quantità è chiamata il limite di tutte le altre
la sua definizione di funzione continua f sull’intervallo [a, b] è quella per
cui ∀x ∈ [a, b] il limite di f(x + α) con α che tende a zero è f(x). Definisce
inoltre le serie convergenti e, con rammarico, poiché non era riuscito a costruire
una teoria solida, deve annotare che le serie divergenti non hanno somma.
Compie anche un errore piuttosto importante: un suo teorema diceva che la
sommatoria infinita di funzioni continue era continua. Abel successivamente
trova un controesempio nella serie di seni:
+∞ �
n=1
sin(nx)
n
= sin(x) + sin(2x)
2
+ sin(3x)
3
+ · · ·
Il secondo corso che tiene all’Ecole è ’Le Calcul Infinitésimal’ in cui tenta
di dare delle fondamenta più solide all’analisi rispetto a quelle presentate nei
lavori di Lagrange. Lagrange infatti credeva di aver ’dimostrato’ il ’teorema’
di Taylor, il cui enunciato per lui asseriva che ogni funzione derivabile infinite
volte era esprimibile mediante la serie di Taylor della funzione stessa.
Il controesempio che trova Cauchy è il famoso e 1
x 2 che per x = 0 ha le derivate
di ogni grado nulle. Cambierà quindi l’enunciato del teorema e inserirà il
famoso resto integrale nella forma di Cauchy.
Le definizioni importanti in questo testo sono sicuramente quella di derivata
come limite del rapporto incrementale e di primitiva come operazione
inversa di derivata. L’integrale per lui era il limite della somma dell’area dei
rettangoli approssimanti l’area sottesa dalla funzione, ma, a differenza della
moderna definizione di Riemann, per lui gli intervalli avevano passo costante
e non variabile come nel caso Riemanniano.
il risultato più importante, e allo stesso tempo completo e rigoroso, di questo
testo è però la definizione di problema di Cauchy e la dimostrazione dell’unicità
della soluzione, che quindi apre la strada alla ricerca ed allo studio rigoroso
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