Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Nella prima proposizione, per esempio, vi è la costruzione del centro di un cerchio;
l’ultima proposizione contiene il noto teorema secondo il quale, se da un
punto esterno a un cerchio si tracciano una tangente e una secante, il quadrato
costruito sulla tangente è uguale al rettangolo formato dall’intera secante e dal
suo segmento esterno.
Il Libro IV contiene sedici proposizioni in gran parte ben note agli studenti
d’oggi, le quali trattano come inscrivere e circoscrivere ad un cerchio un triangolo,
un quadrato, un pentagono regolare e come costruire un esagono e un
pentadecagono (15 lati) inscritti in un cerchio.
5.6.5 Libro V
Fra i tredici libri degli Elementi, quelli che hanno suscitato l’ammirazione
dei matematici sono il V e il X, l’uno concernente la teoria generale delle
proporzioni e l’altro la classifficazione degli incommensurabili. La scoperta di
grandezze incommensurabili aveva minacciato di aprire una crisi che metteva
in dubbio dal punto di vista logico ogni dimostrazione che facesse ricorso all’idea
di proporzionalità. La crisi era però stata evitata con successo da Eudosso
con l’enunciazione dei suoi principi. Nonostante il risultato di Eudosso, i matematici
greci tendevano a evitare il ricorso alle proporzioni. Abbiamo visto
che Euclide non ne ha fatto uso finchè ha potuto: una relazione fra lunghezze
quale x : a = b : c veniva concepita come una uguaglianza delle aree cx = ab.
Prima o poi, però, sarebbe stato necessario usare le proporzioni e perciò Euclide
affronta questo problema nel Libro V degli Elementi.
Alcuni commentatori hanno avanzato l’ipotesi che tutto il libro, consistente
in venticinque proposizioni, sarebbe opera di Eudosso, ma ciò sembra poco
verosimile.
La Definizione 4 è essenzialmente l’assioma di Eudosso e Archimede: Si dice
che due grandezze stanno in rapporto l’una con l’altra, quando, se ne sono
presi multipli, sono in grado l’una di superare l’altra. La Definizione 5, concernente
la uguaglianza di rapporti, è esattamente la definizione eudossea di
proporzionalità.
Il V Libro si apre con proposizioni che sono equivalenti alle proprietà distributive
sinistra e destra della moltiplicazione rispetto all’addizione, alla proprietà
distributiva sinistra della moltiplicazione rispetto alla sottrazione e alla proprietà
associativa della moltiplicazione (ab)c = a(bc). Seguono poi le regole
per le espressioni ‘maggiore di’ e “minore di”, e le ben note proprietà delle
proporzioni.
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