Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

simbolo 1.
Nello specifico Boole introduceva il simbolo 1 “per rappresentare l’universo,
intendendo che esso comprende ogni classe concepibile di oggetti, sia che questi
esistano realmente sia che non esistano” e i simboli, X, Y, Z, ... per rappresentare
i membri di ciascuna classe, in quanto membri di quella classe. Infine
assumeva l’esistenza di simboli x, y, z, ..., detti “simboli elettivi”, per denotare
la nostra capacità di “separare, con un atto della mente, quegli oggetti che
appartengono a una data classe e di contemplarli a parte dal resto”.
Boole definì poi delle operazioni o “leggi di combinazioni” da poter applicare
ai simboli elettivi. Con x+y denotava un atto di “elezione” e stava ad indicare
l’unione dei due sottoinsiemi x e y, ossia l’insieme formato da tutti gli elementi
contenuti in x o in y. Il segno di moltiplicazione × rappresentava l’intersezione
di insiemi, così x × y rappresentava quegli elementi del sottoinsieme x che
erano contenuti anche nel sottoinsieme y. Si noti che Boole, diversamente da
De Morgan, usava l’unione esclusiva, che non ammetteva elementi comuni all’insieme
x e all’insieme y; nell’odierna algebra booleana si usa il simbolo +
nel senso di unione inclusiva di insiemi che possono avere elementi in comune.
Inoltre valgono le seguenti leggi:
x(u + v) = xu + xv legge distributiva
xy = yx legge commutativa
x 2 = x n = x “index law”
L’“index-law” assicura che “il risultato di un dato atto di elezione, compiuto
due volte o un qualsiasi numero di volte in successione, è il risultato dello stesso
atto compiuto una volta sola” ed è la legge caratteristica delle operazioni
sui simboli elettivi.
L’aver definito la somma per classi disgiunte consente in maniera naturale a
Boole di introdurre l’operazione − come sua inversa. In particolare, la classe
1 − x denota la scelta nell’universo di tutti gli elementi che sono non-X. L’introduzione
poi della classe nulla, 0, e di un simbolo opportuno v per esprimere
in termini di classi il quantificatore “alcuni” consentì a Boole di esprimere le
proposizioni A, E, I, O della logica tradizionale:
A) Ogni X è Y x · (1 − y)
E) Nessun X è Y x · y = 0
I) Alcuni X sono Y x · y = v
O) Alcuni X non sono Y x · (l − y) = v
370