Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

quanto più la matematica deve astenersi da qualsiasi ricorso
a questioni psicologiche, tanto meno può negare, invece, i suoi
rapporti con la logica. Io mi trovo d’accordo con coloro i quali
ritengono impossibile tracciare una precisa linea divisoria tra
le due.
2. Per quanto riguarda il kantismo Frege critica l’idea del numero come
qualcosa di intuitivo ed il fatto che le formule aritmetiche siano di conseguenza
indimostrabili ed intuitivamente chiare. Frege sostiene che questa
visione sia data dal fatto di considerare solo numeri “piccoli”.
3. Per tutta la durata delle sue ricerche Frege si è caparbiamente opposto
al formalismo, prima quello ingenuo di Thomae ed Hankel che vedeva
nel segno, in quanto tale l’oggetto ultimo della ricerca matematica, e
successivamente quello di Hilbert.
Per quanto riguarda il primo, Frege vi oppone la propria visione contenutistica,
ovvero il segno non è altro che lo strumento per denotare
l’oggetto. In questa visione l’aritmetica non diverrà altro che un mezzo
per giungere alla matematica.
Della visione formalistica Frege dice
La concezione formalistica è in grado di sostenersi, di enunciare
leggi aritmetiche solo ricorrendo inconsapevolmente ma ineluttabilmente,
a quel contenuto del segno del quale dichiarano
di poter fare a meno.
4. Per quanto riguarda il formalismo di Hilbert, Frege critica in questo il
fatto che la contraddittorietà di un concetto non garantisce l’esistenza
di oggetti che cadono sotto quel concetto ma anzi, che per dimostrare la
non contraddittorietà bisognerebbe esibire oggetti di quel concetto. 3
Frege critica quindi a Hilbert la non osservanza della distinzione tra
concetto ed oggetto che sarà in futuro uno dei punti chiave della teoria
fregeiana.
3 Frege e Russell criticarono a questo proposito i lavori di Cantor, Weierstrass e Dedekind
sulla definizione di numero irrazionale in quanto non ne danno una dimostrazione
dell’esistenza degli stessi.
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