Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

è normale in Gi−1; e è l’identità.
Si dice che un gruppo è risolubile se tutti i quozienti Gi−1 Gi sono abeliani.
L’impossibilità della risolubilità per radicali per un’equazione di grado superiore
al quarto deriva allora dalla seguente osservazione: dato che il gruppo di
Galois di un’equazione algebrica di grado n è il gruppo simmetrico Sn, e che
per n ≥ 4 esso non è risolubile, si ha che non è possibile risolvere per radicali
l’equazione generale di grado superiore al quarto.
Per concludere questa sezione diamo ora l’attuale definizione di gruppo di
Galois
Definizione 13. Sia E una estensione di un campo F . Un F -automorfismo
di E è un automorfismo
ψ : E −→ E
che fissa gli elementi di F, cioè tale che
ψ(x) = x
per ogni x in F . Gli F -automorfismi di E formano un gruppo
G = G(E, F )
che è detto gruppo di Galois dell’estensione.
Se p(x) è un polinomio separabile a coefficienti in un campo F , il gruppo di
Galois di p è definito come il gruppo di Galois dell’estensione data dal campo
di spezzamento E di p su F .
ESEMPIO: Sia E = Q( 3√ 5) e F = Q. Per trovare tutti i possibili automorfismi
di Q( 3√ 5) che fissano Q, basta vedere quali possono essere le immagini
di α = 3√ 5. Dato che il polinomio minimo di α su Q è x 3 − 5, ψ(α) deve essere
un’altra radice dello stesso polinomio. Ora, oltre ad α, le altre due radici di
x 3 − 5 sono complesse, e quindi non appartengono a Q( 3√ 5). Ne segue che
l’unica possibilità è ψ(α) = α, ossia l’unico automorfismo di G(Q( 3√ 5), Q) è
l’automorfiso identico:
G(Q( 3√ 5), Q) = id
11.2.5 Le Disquisitiones di Gauss
Gauss, uno dei più grandi matematici della storia, si era dimostrato un
bambino prodigio, a giudicare dai numerosi aneddoti che sono stati tramandati
sulle straordinarie capacità matematiche da lui rivelate fin dalla primissima
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