Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Secondo principio di generazione: se esiste una qualsiasi successione determinata
dei numeri interi, in cui non esiste il numero massimo, si viene a
definire un nuovo numero che è pensato limite di tutti gli altri numeri e perciò
è definito come il più grande immediatamente successivo a tutti.
Il sequito viene spiegato riportando quanto Cantor stesso ha scritto nei Grunlagen:
Applicando entrambi i principi di formazione si ottiene la seguente:
2ω, 2ω + 1, 2ω + 3, ..., 2ω + ν, ...
3ω, 3ω + 1, 3ω + 3, ..., 3ω + ν, ...
..................................................
µω, µω + 1, µω + 3, ..., µω + ν, ...
Tuttavia neanche qui c’è una fine, perché non esiste massimo tra i numeri
µω + ν. Il secondo principio di formazione ci induce quindi all’introduzione
di un nuovo numero, immediatamente successivo a tutti i numeri µω + ν, che
chiamo ω 2 al quale si legano i numeri in una determinata successione:
λω 2 + µω + ν
così, osservando entrambi i principi di formazione, si arriva a questi numeri:
ν0ω µ + ν1ω µ−1 + ...... + νµ−1ω + νµ;
e il secondo principio di formazione, dunque, ci porta a considerare un nuovo
numero, indicato in modo appropriato con ω ω , numero più grande di tutti
questi numeri ed a loro immediatamente successivo.
Come si può vedere, questa formazione di nuovi numeri non ha mai fine;
usando i due principi di formazione si ottengono sempre nuovi numeri e serie
numeriche, che hano una successione ben precisa.
Con questo processo di formazione dei numeri interi, infiniti, sembrerebbe di
perdersi nell’infinito e di non essere in grado di porre fine a questo processo
illimitato, per assicurare con ciò una limitazione analoga a quella conferita alla
prima classe numerica; in essa veniva usato il primo principio di formazione e
quindi era impossibile ‘uscire’ dalla serie (I). Il secondo principio di formazione
non doveva soltanto oltrepassare il confine numerico fino ad ora conosciuto,
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