Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

all’esposizione: infatti, considerando i risultati da me ottenuti in Ein Beitrag
zur Mannigfaltigkeitslehre (Crelles Journal, vol. 84, p. 242), grazie ai quali
figure piane, spaziali e n-dimensionali in genere vengono messe in relazione
univoca con insiemi lineari di punti, si poteva supporre fin dall’inizio che la
maggior parte delle proprietà e relazioni riscontrabili negli insiemi lineari di
punti fossero dimostrabili, con qualche ovvia modificazione, anche per insiemi
di punti contenuti in un continuo piano, spaziale o n-dimensionale. Ora però
vorrei presentare queste generalizzazioni in modo più esplicito, dato che non
solo sono interessanti di per sé e per le loro applicazioni alla teoria delle funzioni,
ma ci danno anche nuove prospettive da cui studiare gli insiemi lineari
di punti.
Per cominciare subito con una di tali generalizzazioni, il concetto di derivata
con i suoi diversi ordini, caratterizzabili non solo mediante numeri interi finiti
ma anche, in certe circostanze, mediante simboli infinitari rigorosamente determinati,
può essere senz’altro esteso agli insiemi di punti che incontriamo in
domini continui n-dimensionali. Tale concetto si basa sulla nozione di punto
limite di un insieme di punti P dato, nozione definita dal fatto che in ogni
intorno, per quanto piccolo, del punto in questione esistono punti di P diversi
da esso; è indifferente, poi, che il punto limite appartenga anch’esso a P oppure
no.
È stato C. Weierstrass il primo a enunciare e dimostrare in tutta la sua
generalità, e a sfruttare nel modo più ampio in teoria delle funzioni, il teorema
che ogni insieme di punti formato da infiniti elementi ed esteso su un dominio
n-dimensionale continuo e finito ha almeno un punto limite.
La classe di tutti i punti limite di un insieme P forma un nuovo insieme di
punti P ′ , diverso in generale da P, che io chiamo derivata prima di P. Iterando
finitamente o anche infinitamente questa costruzione concettuale si ottengono,
con una dialettica dotata di una sua precisa necessità, i vari concetti di derivata
di ordine superiore. In questo contesto ci si presenta sempre un fenomeno
al quale non è difficile trovare un fondamento, cioè che ogni derivata, a eccezione
della prima, è contenuta come parte nelle precedenti compresa P ′ , cioè
la prima, mentre l’insieme P dato inizialmente contiene in genere punti del
tutto diversi da quelli delle sue derivate. Anche il concetto dell’essere ovunque
denso, che inizialmente avevamo preso in esame solo per gli insiemi di punti
lineari, può essere senz’altro esteso a insiemi di dimensionalità superiore: per
l’esattezza, un insieme di punti P dato in un dominio continuo n-dimensionale
A sarà detto ovunque denso in a, dove a è un sotto dominio di A, se ogni
sottodominio continuo a ′ di a con lo stesso numero di dimensioni di a contiene
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