Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

« Se concepisco l’infinito al modo di questo lavoro [si riferisce ai
Grundlagen] e dei miei precedenti provo un vero godimento, al quale
mi concedo con un senso di gratitudine, al vedere come l’intero
concetto di numero, cui nel finito fa da sfondo solo l’enumerazione,
ascendendo all’infinito si scinda in certo qual modo in due concetti:
quello della potenza attribuita all’insieme, la quale è indipendente
dall’ordine, e quello dell’enumerazione, necessariamente legata
a un ordinamento dell’insieme secondo una legge grazie alla quale
esso diventa ben ordinato. E se dall’infinito ridiscendo al finito
vedo, in modo altrettanto chiaro e bello, come i due concetti ridivengano
uno e confluiscano nel concetto di numero intero finito.
»
Risulta quindi chiaro come la potenza di un insieme sia un attributo indipendente
dall’ordinamento, mentre l’ordinale associato ad un insieme è un attributo
dipendente dall’ordine. Si è visto in precedenza come nel finito questi
due concetti risultano equivalenti; resta quindi solo da capire quale relazione
sussista tra i due nell’infinito. Innanzitutto,
« due insiemi ben ordinati hanno lo stesso ordinale ( relativamente
alle rispettive successioni preassegnate) quando è possibile associarli
biunivocamente l’uno all’altro in modo che, se E e F sono
due elementi qualsiasi del primo, e E1 e F1 gli elementi corrispondenti
del secondo, la posizione di E e F nella successione del primo
insieme coincida sempre con quella di E1 e F1 nella successione
del secondo. Questo ordine è, se possibile e come si vede facilmente,
sempre determinato e perciò nella serie numerica troviamo uno
e un solo numero α tale che i numeri che lo precedono (da 1 in
poi) hanno nella successione naturale lo stesso ordinale così che si
è obbligati a porre l’ordinale di entrambi gli insiemi ben ordinati
uguali ad α, se α è un numero infinitaente grande, e uguale al
numero α − 1 se α è un numero intero finito.[...] Tuttavia esiste
anche negli insiemi infiniti una certa connessione tra la potenza
dell’insieme e l’ordinale determinato attraverso la successione data
dei suoi elementi.
Prendiamo un insieme che ha la potenza della prima classe numerica
e mettiamo gli elementi in una successione qualunque in modo
da ottenere un insieme ben ordinato, il suo ordinale è sempre un
certo numero della seconda classe numerica e non può essere mai
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