Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

6.3.3 Sulla misurazione del cerchio
Questo piccolo trattato, che è probabilmente incompleto nella forma in cui
ci è pervenuto, comprende solo tre proposizioni:
“Ogni cerchio è equivalente a un triangolo rettangolo nel quale un
cateto è uguale al raggio del cerchio e la base è uguale al perimetro.”
“Il perimetro di ogni cerchio è il triplo del diametro, aumentato
di un segmento compreso tra un settimo del diametro e i dieci settantunesimi
dello stesso.”
“Il cerchio ha rapporto con il quadrato del diametro, di undici
quattordicesimi (11/14).”
Vediamo come Archimede è arrivato al primo risultato:
Supponiamo che il cerchio sia più grande del triangolo. Inscriviamo nel cerchio
il quadrato ABCD e dividiamo gli archi (che hanno come corde i lati del
quadrato) in due parti uguali; continuiamo la divisione finché la somma dei
segmenti del cerchio sia minore della differenza tra l’area del cerchio e quella
del triangolo. Il poligono inscritto è allora maggiore del triangolo. Prendiamo
il centro N e abbassiamo la perpendicolare NX, che risulta essere minore
dell’altezza del triangolo; anche il perimetro del poligono è a sua volta minore
della base, dato che è minore della circonferenza del cerchio. Di conseguenza,
il poligono è minore del triangolo E, il che genera una contraddizione. Ragionando
nello stesso modo, supponiamo ora che il cerchio sia più piccolo del
triangolo E, circoscriviamogli un quadrato, dividiamo gli archi in due parti
uguali e tiriamo le tangenti ai punti di divisione. L’angolo OAR è retto, quindi
OR è maggiore di MR, dato che MR è uguale a RA, e il triangolo ROP è
maggiore della metà della figura OZAMO. Rimangono dunque dei segmenti
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