Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

Siano i numeri piani a = cd e b = ef, dove c, d, e, f sono i loro lati. La
proposizione afferma che il rapporto a : b è composto da c : e e d : f, che,
espresso in notazione frazionaria, è:
a
b
= cd
ef
c d
=
e f .
Non c’ è nessuna definizione formale negli Elementi di composizione. Questo
è ciò che Euclide ha fatto di più simile a delle operazioni con le frazioni; non
c’ è traccia di addizioni di frazioni o rapporti, i rapporti non sono numeri per
Euclide.
PROPOSIZIONE VIII.7: Se abbiamo una qualsiasi quantità di numeri in proporzione
continua e il primo misura l’ ultimo, esso misura anche il secondo.
La seconda parte del libro si occupa della geometria dei numeri. Le dimostrazioni
sono puramente aritmetiche, ma le idee di base provengono dalla
geometria.
Il problema di trovare un medio proporzionale m per ogni segmento a, b tale
che a : m = m : b è stato risolto nel libro VI: per ogni segmento a, b è sempre
possibile costruire m. Tuttavia il problema aritmetico è diverso: per alcune
coppie di numeri, come a = 4 e b = 12, il medio proporzionale non esiste
(tra gli interi). Nasce quindi il problema di caratterizzare le coppie di numeri
a, b che hanno un medio proporzionale m. Euclide lo risolve nelle proposizioni
VII.18/21, utilizzando il concetto di “numeri piani simili”, affermando che fra
due numeri si può interporre un numero medio proporzionale se e solo se i due
numeri sono numeri piani simili. Analogamente spiega che fra due numeri si
interpongono due medi proporzionali se e solo se i due numeri sono numeri
solidi simili. Tale risultato diventa poi uno strumento per dimostrare proposizioni
più avanzate. Nel libro X, ad esempio, per determinare quali sono le
terne pitagoriche, Euclide introduce la fattorizzazione dei numeri piani simili
per ottenere delle formule che oggi sappiamo essere la parametrizzazione di
tutte le terne pitagoriche. Euclide non dice di averle trovate tutte, ma in
realtà è quello che ha fatto.
Libro IX
Non c’ è nessuna interruzione nei contenuti tra i libri VIII e IX, ma il libro
IX continua a trattare il tema dei numeri in proporzione continua, dei numeri
piani simili e dei numeri cubi.
Una sezione riguarda i divisori primi, con risultati che si avvicinano, come
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