Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

e
f(x) = 1
2 a′ +∞ �
0 +
n=1
(a ′ ncos(nx) + b ′ nsin(nx))
esse rappresentano la stassa funzione (cioè esiste unica la rappresentazione in
serie di Fourier di f) se convergono e hanno stessa somma per ogni valore di x.
Una prima generalizzazione richiedeva convergenza ed ugual somma ovunque,
a meno di un numero finito di valori di x. Infine, Cantor riuscì a dimostrare che
il risultato continuava a valere se le due serie convergevano ed avevano ugual
somma ovunque,a meno di un numero infinito di valori di x che “dovevano
capitare in intervalli finiti soltanto in numero finito”.
Cantor intuì la possibilità di estendere ulteriormente questi risultati ma, per
poter fare ciò in modo rigoroso, necassitava di una definizione solida e precisa
dei numeri reali.
Prima di passare nel dettaglio alla descrizione della costruzione dei reali
realizzata da Cantor, analizziamo brevemente qual era la situazione generale
in quel tempo nell’ambito dell’analisi.
12.3.3 Weierstrass e Dedekind: aritmetizzazione dell’analisi
Karl Weierstrass (1815-1897), Richard Dedekind (1831-1916) e Georg Cantor
sono i tre nomi che di solito vengono associati a ciò che va sotto il nome
di “aritmetizzazione dell’analisi”.
Nel 1859 Weierstrass tenne le sue lezioni sulla teoria delle funzioni analitiche
all’Università di Berlino. Con ciò egli “fu obbligato [...] a studiarne i
fondamenti” [5, Jourdain, p. 13] e questo “lo condusse ad una [...] investigazione
dei principi dell’aritmetica” [5, Jourdain, p. 13]. Il maggior risultato che
conseguì a questa investigazione fu la sua teoria dei numeri irrazionali.
Infatti, nella teoria delle funzioni analitiche si usa spesso [5, Jourdain, p. 13]
il seguente
Teorema 26. Data una regione limitata del piano complesso contenente un
numero infinito di punti esiste almeno un punto del piano complesso tale che
ogni suo intorno contiene un numero infinito di punti.
A questo punto Jourdain fa un’osservazione che ci preme notare: “ l’analogo
geometrico di questa proposizione si può affermare che sia intuitivo; ma
se il nostro ideale nella teoria delle funzioni [...] è fondare questa teoria sul
solo numero, questa proposizione conduce alle considerazioni sulle quali una
teoria degli irrazionali come quella di Weierstrass è costruita”.
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