Capitolo 1 “Prematematica” e Matematica antica

pio di aggiunta di un elemento ideale ad un sistema è quello dell’iperpiano
all’infinito della geometria proiettiva. Così scrive Hilbert a riguardo:
“Nella mia metamatematica, gli assiomi e le formule transfiniti
sono aggiunti agli assiomi finiti come nella teoria delle funzioni a
variabili complesse gli elementi immaginari sono aggiunti ai reali e
come in geometria le costruzioni ideali sono aggiunte a quelle reali.
[7]”
Quando Hilbert parla di proposizioni reali, manifesta chiaramente che la parte
reale della teoria consta solo di formule decidibili e senza variabili, che devono
essere suscettibili di verifica diretta, in perfetta analogia con le proposizioni
della fisica che possono essere verificate sperimentalmente. Le proposizioni
transfinite invece non necessitano di alcun significato intuitivo allo stesso modo
in cui in fisica non è necessario vedere gli elettroni per scriverne una teoria.
La raison d’être per la parte ideale starebbe nella conservatività rispetto a
quella reale: ogniqualvolta una proposizione reale viene dimostrata usando
della matematica ideale, tale proposizione dev’essere dimostrabile anche con
mezzi finitisti. Una teoria matematica classica può allora essere vista come
una semplice ed elegante sistematizzazione attraverso cui una varietà di proposizioni
reali vere, che precedentemente apparivano eterogenee e scollegate o
erano addirittura ignote, sono comprese come conseguenze dei teoremi ideali.
Non stupisce che in virtù di questo punto di vista (che sembra concepire
la matematica classica come uno strumento) alcuni filosofi della matematica
abbiano poi letto Hilbert come uno strumentalista.
16.6 Dopo Gödel
Come già accennato, un’ulteriore aspirazione del Programma di Hilbert,
era la decidibilità. Avrebbe dovuto esistere, secondo lui, un algoritmo per
stabilire la verità o la falsità di ogni enunciato matematico, per lo meno intendendo
“verità” come validità nel sistema assiomatico in cui è formalizzata
la teoria. Questo, ovviamente, sottintende che ogni enunciato sia o “vero” o
“falso”. Nel 1930 Gödel dimostrò che ogni sistema formale consistente e abbastanza
potente da formalizzare l’aritmetica di Peano non può essere completo.
“Peggio” ancora, una conseguenza del secondo teorema di incompletezza è che
una dimostrazione finitaria di consistenza per un sistema formale abbastanza
forte da formalizzare l’aritmetica di base (la matematica finitaria di Hilbert)
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